Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
4.2. Приближение свободных электронов. Энергетический спектр
электронов в прямоугольной потенциальной яме
В приближении свободных электронов потенциал решетки считается
постоянным. Поэтому с энергетической точки зрения кристалл в этом
случае представляет собой одиночную потенциальную яму с гладким
дном. Действительно , вне кристалла потенциальная энергия свободного
электрона V = 0, а внутри кристалла V
0
= -q ϕ
0
, где ϕ
0
– положительный
постоянный потенциал поля , созданного узлами решетки . Электрон не
может свободно покинуть кристалл. Для выхода из него электрону
необходимо совершить работу, численно равную V
0
.
Характер энергетического спектра электронов в кристалле (в
потенциальной яме) обсудим на примере одномерной модели , поскольку
для выяснения важнейших особенностей энергетического спектра
одномерного случая вполне достаточно . Напомним, что для его
нахождения нам нужно решить одноэлектронное уравнение Шредингера
(1), которое в одномерном случае имеет вид:
()
.ExV
dx
d
m
ψ=ψ+
ψ
−
2
22
2
h
(18)
Решим это уравнение для двух типов потенциальной энергии,
показанных на рис. 2. Случай , когда V ( x ) = 0 при –a < x < a и V(x)=+∞ при
x
> a, что соответствует бесконечно высоким стенкам прямоугольной
потенциальной ямы , расположенным в точках x=±a, показан на рис. 2, а.
Потенциальная энергия, изображенная на рис 2, б , изменяется у стенки
скачкообразно, но на конечную величину, так что при x > a V(x)=V
0
. Для
обоих типов потенциальной энергии движение классической частицы с
полной энергией Е < V
0
будет одним и тем же, но, как мы увидим, ее
квантово - механическое поведение оказывается различным.
V(x) V(x)
+
∞
+
∞
V
0
-a 0 a x -a 0 a x
а) б )
Рис. 2. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы
с бесконечно высокими стенками (а) и с конечным скачком потенциала (б ) 
                                         14
     4.2. П риб лиж ение с воб одных электронов. Э нерг етичес кийс пектр
            электроноввпрямоуг ольнойпотенциальнойяме

      В при бли ж ени и свободны х э лект роновпот енци ал реш ет ки счи т ает ся
пост оянны м. П оэ т ому с э нергет и ческой т очки зрени я кри ст алл в э т ом
случае предст авляет собой оди ночную пот енци альную яму с гладки м
дном. Д ей ст ви т ельно, вне кри ст алла пот енци альная э нерги я свободного
э лект рона V = 0, а внут ри кри ст алла V0 = -q ϕ0 , где ϕ0 – полож и т ельны й
пост оянны й пот енци ал поля, созданного узлами реш ет ки . Э лект рон не
мож ет свободно поки нут ь кри ст алл. Д ля вы х ода и з него э лект рону
необх оди мо соверш и т ь работ у, чи сленно равную V0.
      Х аракт ер э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле (в
пот енци альной яме) обсуди м напри мере одномерной модели , поскольку
для вы яснени я важ ней ш и х         особенност ей э нергет и ческого спект ра
одномерного случая вполне дост ат очно. Н апомни м, что для его
нах ож дени я нам нуж но реш и т ь одноэ лект ронное уравнени е Ш реди нгера
(1), кот ороеводномерном случаеи меет ви д:
                             h 2 d 2ψ
                          −            + V ( x )ψ = Eψ .                    (18)
                             2m dx 2
      Реш и м э т о уравнени е для двух т и пов пот енци альной э нерги и ,
показанны х на ри с. 2. Случай , когда V(x)=0 при –aa, что соот вет ст вует бесконечно вы соки м ст енкам прямоугольной
пот енци альной ямы , располож енны м вт очках x=±a, показан на ри с. 2, а.
П от енци альная э нерги я, и зображ енная на ри с 2, б , и зменяет ся у ст енки
скачкообразно, но на конечную вели чи ну, т ак что при x>a V(x)=V0. Д ля
обои х т и повпот енци альной э нерги и дви ж ени е класси ческой част и цы с
полной э нерги ей Е

Страницы