Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Бесконечно высокие стенки . Внутри потенциальной ямы (при x < a )
волновое уравнение (18) записывается в виде
,E
dx
d
m
ψ=
ψ
−
2
22
2
h
(19)
и его общее решение есть
()
./mE,xcosBxsinAx h2 =αα+α=ψ (20)
Выбирая в качестве граничного условия обращение в нуль волновой
функции в точках x = ± a, получаем
,
a
cos
B
a
sin
A
0
α
α
,
a
cos
B
a
sin
A
0
α
α
откуда
.acosB,asinA 00 =α=α
Решение, для которого константы А и В равны нулю , не представляют
физического интереса, так как при этом ψ=0 в любой точке. Нельзя также
одновременно приравнять нулю sin
α
a и cos
α
a при одном и том же
значении α (т. е. Е ). Поэтому имеется два возможных класса решений. Для
первого класса
A = 0 и cos
α
a = 0,
а для второго класса
В = 0 и sin
α
a = 0.
Таким образом, αa=nπ/2, где для первого класса n – нечетное, а для второго
класса – четное число. Следовательно , собственные функции обоих
классов и принадлежащие им собственные значения энергии имеют вид
()
,
a
xn
cosBx
2
π
=ψ где n нечетное;
()
,
a
xn
sinAx
2
π
=ψ где n четное;
2
222
8
ma
n
E
hπ
= в обоих случаях .
Ясно, что при n=0 получается физически неинтересное решение ψ=0,
а решения с отрицательными и положительными значениями n линейно
связаны друг с другом. Константы А и В легко находятся из условия
нормировки собственных функций ψ(x).
Таким образом, мы получаем бесконечную систему дискретных
уровней энергии, соответствующих всем положительным целым
значениям квантового числа n . Каждому уровню принадлежит только одна
собственная функция; число узлов (внутри потенциальной ямы ) у n-й
собственной функции равно n – 1. 
                                          15
     Бес конечно выс окие с тенки. В нут ри пот енци альной ямы (при x

Страницы