Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
ширина зависит и от αа. При любом фиксированном значении Р эти
интервалы расширяются с увеличением αа. В силу соотношения (29)
между α и энергией электрона Е сказанное относится и к энергии. Таким,
образом, энергия электрона в кристалле не может принимать любое
значение. Есть зоны разрешенных и зоны запрещенных энергий.
Рассмотрим, как изменяется энергетический спектр в двух
предельных случаях Р→ 0 и Р→∞. Случай Р→ 0 соответствует условию
V
0
→ 0, т. е. почти свободному электрону (приближение слабой связи ). Из
(37) получаем αа=kа, т. е. a=k, и на основании (29):
.
m
k
m
E
2
2
2222
hh
=
α
= (39)
Как и следовало ожидать, последнее выражение совпадает с
зависимостью E(k) для свободного электрона. Поскольку на k в этом
случае никаких ограничений не накладывается , кривая E(k) представляет
собой непрерывную параболу.
В другом предельном случае Р→∞ в силу того, что V
0
→∞. Это
означает , что электрон локализован в бесконечно глубокой потенциальной
яме. При Р = ∞ из уравнения (37) находим, что
,
αa
αasin
0= т.е.
α
a =
π
n, (40)
где n =
±
1,
±
2,… , а из (29)
.n
ma
E
2
2
22
2
π
=
h
(41)
Таким образом, при Р→ ∞ система энергетических зон вырождается в
дискретные уровни .
Попытаемся теперь найти явный вид закона дисперсии E(k) для
электрона, движущегося в периодическом поле решетки . Для этого надо
решить относительно Е уравнение (37). Это можно сделать только
приближенно . Допустим, что Р>>1. Это соответствует приближению
сильной связи . Для больших Р, согласно (40), можно записать:
α
a =
π
n +
∆
(
α
a), (42)
где ∆(αa) << αa.
Разлагая левую часть уравнения (37) в ряд и ограничиваясь
линейными относительно Δ ( αа) членами , получим
()()
kacos
n
P
a
n
=
π
α+− ∆ 11
или
() ()
[
]
.kacos
P
n
a
n
11 −−
π
=α ∆ (43)
Подставляя (43) в (42), находим
()
.
P
kacos
P
na
n
−+−π=α 1
1
1
(44) 
                                       22
ш и ри на зави си т и от αа. П ри лю бом ф и кси рованном значени и Р э т и
и нт ервалы расш и ряю т ся с увели чени ем αа. В си лу соот нош ени я (29)
меж ду α и э нерги ей э лект рона Е сказанное от носи т ся и к э нерги и . Т аки м,
образом, э нерги я э лект рона в кри ст алле не мож ет при ни мат ь лю бое
значени е. Е ст ь зоны разреш енны х и зоны запрещ енны х э нерги й .
      Рассмот ри м, как и зменяет ся э нергет и чески й спект р в двух
предельны х случаях Р → 0 и Р → ∞ . Случай Р → 0 соот вет ст вует услови ю
V0→ 0, т . е. почти свободному э лект рону (при бли ж ени е слабой связи ). И з
(37) получаем αа=kа, т . е. a=k, и наосновани и (29):
                                       h 2α2 h 2k 2
                                E=             =        .                     (39)
                                        2m        2m
      К ак и следовало ож и дат ь, последнее вы раж ени е совпадает с
зави си мост ью E(k) для свободного э лект рона. П оскольку на k в э т ом
случае ни каки х ограни чени й не наклады вает ся, кри вая E(k) предст авляет
собой непреры вную параболу.
      В другом предельном случае Р → ∞ в си лу т ого, что V0→ ∞ . Э т о
означает , что э лект рон локали зован вбесконечно глубокой пот енци альной
яме. П ри Р=∞ и з уравнени я (37) нах оди м, что
                             sin αa
                                      = 0 , т .е. αa = πn,                    (40)
                               αa
гдеn = ±1, ±2,… , а и з (29)
                                           h 2π2 2
                                    E=            n .                         (41)
                                          2ma 2
      Т аки м образом, при Р → ∞ си ст емаэ нергет и чески х зон вы рож дает ся в
ди скрет ны еуровни .
      П опы т аемся т еперь най т и явны й ви д закона ди сперси и E(k) для
э лект рона, дви ж ущ егося впери оди ческом поле реш ет ки . Д ля э т ого надо
реш и т ь от носи т ельно Е уравнени е (37). Э т о мож но сделат ь т олько
при бли ж енно. Д опуст и м, что Р >>1. Э т о соот вет ст вует при бли ж ени ю
си льной связи . Д ля больш и х Р , согласно (40), мож но запи сат ь:
                              αa = πn + ∆(αa),                                (42)
где ∆(αa) << αa.
      Разлагая левую част ь уравнени я (37) в ряд и ограни чи ваясь
ли ней ны ми от носи т ельно Δ (αа) членами , получи м
                             (− 1)n 1 + ∆ (αa ) P  = cos ka
                                                  πn 
и ли                         ∆ (αa ) =  [πn
                                          P
                                                        ]
                                              (− 1)n cos ka − 1 .              (43)

      П одст авляя (43) в(42), нах оди м
                                   1                n cos ka 
                          αa = πn 1 − + (− 1)                  .             (44)
                                   P                     P 

Страницы