Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
a
n
k
π
=
λ
π
=
2
или nλ = 2a. (46)
Последнее выражение представляет собой условие Вульфа – Брэгга
для электронной волны , падающей на решетку перпендикулярно атомным
плоскостям. При выполнении этого условия функция Блоха представляет
уже не бегущую , а стоячую волну, так как электрон с таким волновым
вектором при его движении (в реальном пространстве ) испытывает
брэгговское отражение. Падающая и отраженная волны могут
складываться двумя способами , образуя симметричную и
антисимметричную комбинации:
()()
()()
[]
()
,x
a
cosxUeexUx
xa/ixa/i
π
=+=ψ
π−π
2
1
(47)
()()
()()
[]
()
.x
a
sinxiUeexiUx
xa/ixa/i
π
=−=ψ
π−π
2
2
(48)
Выражения (47) и (48) записаны для значений волновых векторов
k±π /а. Волновая функция ψ
1
не изменяется при замене х на –х , а ψ
2
меняет
знак . Функция ψ
2
является мнимой , однако плотность электрического
заряда, связанная с волновой функцией ψ соотношением –е| ψ |
2
, в этом
случае так же, как и для ψ
1
, представляет собой вещественную
отрицательную величину.
Волновым функциям ψ
1
и ψ
2
соответствуют разные энергии.
Решению ψ
1
отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней
границе первой зоны (точка A на рис. 8, а), а решению ψ
2
— энергия,
соответствующая нижней границе второй зоны (точка А'). При k < π / а
электрон обладает энергиями меньшими , чем Е
A
, а при k > π / а — энергиями ,
большими , чем Е
A'
. В интервале от Е
A
до E
A'
нет ни одного собственного
значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой
запрещенную зону.
В заключение отметим некоторые особенности энергетического
спектра электронов в трехмерном случае. Зонная структура здесь может
быть значительно сложнее, чем в рассмотренной выше одномерной
модели . Зависимость E(k) в трехмерном кристалле может быть различна
для разных направлений в зоне Бриллюэна. Это связано с тем , что
трехмерный потенциал V ( r ), зависящий от структуры кристалла, в
различных направлениях не одинаков. Следствием этого может быть
перекрытие разрешенных зон. Так , например, запрещенная зона в одном
направлении может совпадать с разрешенной зоной в другом направлении.
Перекрытие разрешенных зон нельзя получить в одномерном случае. 
                                                    25
                              2π nπ
                            k=     =                   и ли               nλ= 2a.                        (46)
                               λ       a
      П оследнее вы раж ени е предст авляет собой услови е В ульф а – Брэ гга
для э лект ронной волны , падаю щ ей нареш ет ку перпенди кулярно ат омны м
плоскост ям. П ри вы полнени и э т ого услови я ф ункци я Блох а предст авляет
уж е не бегущ ую , а ст оячую волну, т ак как э лект рон с т аки м волновы м
вект ором при его дви ж ени и (в реальном прост ранст ве) и спы т ы вает
брэ гговское от раж ени е. П адаю щ ая и от раж енная волны могут
склады ват ься      двумя            способами ,                          образуя        си ммет ри чную    и
ант и си ммет ри чную комби наци и :
                                                                                         π 
                   ψ 1 ( x ) = U ( x )[e i ( π / a ) x + e −i ( π / a ) x ] = 2U ( x )cos x  ,         (47)
                                                                                         a 
                                                                                          π 
                 ψ 2 ( x ) = iU ( x )[e i ( π / a ) x − e −i ( π / a ) x ] = 2iU ( x ) sin x . (48)
                                                                                          a 
       В ы раж ени я (47) и (48) запи саны для значени й волновы х вект оров
k±π /а. В олновая ф ункци я ψ 1 неи зменяет ся при заменех на–х, аψ 2 меняет
знак. Ф ункци я ψ 2 являет ся мни мой , однако плот ност ь э лект ри ческого
заряда, связанная с волновой ф ункци ей ψ соот нош ени ем –е|ψ|2, вэ т ом
случае т ак ж е, как и для ψ 1, предст авляет собой вещ ест венную
от ри цат ельную вели чи ну.
       В олновы м ф ункци ям ψ 1 и ψ 2 соот вет ст вую т разны е э нерги и .
Реш ени ю ψ 1 от вечает меньш ая э нерги я, кот орая соот вет ст вует верх ней
грани це первой зоны (т очка A на ри с. 8, а), а реш ени ю ψ 2 — э нерги я,
соот вет ст вую щ ая ни ж ней грани це второй зоны (т очка А'). П ри k<π /а
э лект рон обладает э нерги ями меньш и ми , чем Е A, апри k>π /а— э нерги ями ,
больш и ми , чем Е A' . В и нт ервале от Е A до EA' нет ни одного собст венного
значени я э нерги и э лект рона, т . е. э т а област ь предст авляет собой
запрещ енную зону.
       В заклю чени е от мет и м некот оры е особенност и э нергет и ческого
спект ра э лект роноввт рех мерном случае. Зонная ст рукт ура здесь мож ет
бы т ь значи т ельно слож нее, чем в рассмот ренной вы ш е одномерной
модели . Зави си мост ь E(k) вт рех мерном кри ст алле мож ет бы т ь разли чна
для разны х направлени й в зоне Бри ллю э на. Э т о связано с т ем, что
т рех мерны й пот енци ал V(r), зави сящ и й от ст рукт уры кри ст алла, в
разли чны х направлени ях не оди наков. Следст ви ем э т ого мож ет бы т ь
перекры т и е разреш енны х зон. Т ак, напри мер, запрещ енная зона водном
направлени и мож ет совпадат ь сразреш енной зоной вдругом направлени и .
П ерекры т и еразреш енны х зон нельзя получи т ь водномерном случае.

Страницы