ВУЗ:
Составители:
54
Рис. 23.1. Продолжая очень долго изломанную линию (а) в ограниченных
пределах квадрата, со временем перестаем отличать ее от закрашенной по-
верхности этого квадрата (б)
Что же в таком случае избрать мерилом рассматриваемых объек-
тов и как убедиться в том, что элементы их структуры действительно
обладают свойством самоподобия? Строгое определение фрактала,
данное американским математиком Б. Мандельбротом (1975), звучит
так:
Фракталами называются объекты, у которых топологическая
размерность меньше хаусдорфовой.
Дадим необходимые пояснения. В геометрии под размерностью
множества понимается минимальное число координат, необходимое
для задания в этом множестве положения материальной точки. Для
точки это 0, для линии — 1, для поверхности — 2, для объемного те-
ла — 3. Топология изучает объекты, свойства которых не изменяются
при деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Тополо-
гическая размерность множества d
Т
— это геометрическая размер-
ность, на единицу превышающая размерность разреза, делящего это
множество на две несвязные части, причем топологическая размер-
ность точки полагается равной нулю. Тогда для линии снова получаем
d
T
= 1, для поверхности d
T
= 2 и т. д. В любом случае это целое число.
Теперь представим себе множество элементов некой структуры
(рис. 23.2), состоящей, например, из определенным образом располо-
женных точек. Разобьем это множество на одинаковые ячейки с ли-
нейным размером r и подсчитаем количество ячеек, содержащих хотя
бы один элемент множества.
Хаусдорфовой размерностью множества (по имени нем. мате-
матика Ф. Хаусдорфа) называется предел отношения логарифма чис-
ла ячеек разбиения этого множества, содержащих хотя бы один его
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
