Математические методы искусственного интеллекта. Броневич А.Г - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

27
Пусть
21
12
() ()
f
dfd
ΩΩ
≥
∫∫
xx xx. Тогда
22
121 1
( ) () ()Qpp fd fd
ΩΩ
≤+ =
∫
∫
xx xx. Если
же
21
12
() ()
f
dfd
ΩΩ
≤
∫∫
xx xx, то
11
122 2
()() ()Qppfd fd
ΩΩ
≤+ =
∫
∫
xx xx. Таким, образом,
22
11
max ( ) , ( )Qfdfd
ΩΩ
⎧
⎫
≤
⎨
⎬
⎩⎭
∫∫
xx xx.
Поэтому, если априорные вероятности появления классов неизвестны, то в
качестве классификационной стратегии может быть выбрана стратегия тако-
го разбиения пространства признаков
n
R
на непересекающиеся области
1
Ω
и
2
Ω
, при котором минимизировалась бы максимально возможная средняя
ошибка неправильной классификации, т.е.
22
12 1 1
(, )max (), () minQfdfd
ΩΩ
⎧⎫
ΩΩ = →
⎨⎬
⎩⎭
∫∫
xx xx .
Пример. Пусть признаки распределены в двух классах
i
ϖ
(
1, 2i =
) по
показательному закону
()
i
ax
ii
f
xae
−
= при 0
x
≥ ,
0
i
a >
(
1, 2i =
). Будем искать
область
1
Ω в виде
{
10
x
xΩ= < . Тогда
0
220
22
0
1
x
ax ax
Qaedx e
−−
==−
∫
,
110
0
11
ax ax
x
Qaedxe
∞
−−
==
∫
.
Найдем точку минимума функции
{
10 20
0
() max ,1
ax a x
Qx e e
−−
=−. Нетрудно видеть
(рис. 13), что эта точка является корнем уравне-
ния
10 20
1
ax a x
ee
−−
=− , который можно найти числен-
но. В частном случае, когда
12
aaa==,
0
1
ln 2
x
a
= .
9.3. Критерий Неймана – Пирсона
Этот критерий применяется также в тех случаях, когда неизвестны ве-
роятности появления классов
i
p
. Рассмотрим классификацию по двум клас-
сам. В этом случае фиксируется некоторая малая положительная величина
α,
которая называется уровнем значимости и численно равна так называемой
вероятности ошибки первого рода
2
1
()
f
d
α
Ω
=
∫
xx (вероятность отнесения x к
классу
2
ϖ
, когда на самом деле x принадлежит классу
1
ϖ
). При фиксирован-
ном значении
α разбиение признакового пространства
n
R
на непересекаю-
щиеся области
1
Ω и
2
Ω осуществляется в соответствии с критерием Неймана
– Пирсона таким образом, чтобы минимизировать так называемую вероят-
ность ошибки второго рода
1
22
() minQfd
Ω
=→
∫
xx .
Теорема (Неймана – Пирсона). Вероятность ошибки второго рода Q
2
будет минимальной, если
()
0
min
x
Рис.13
2
c
0
x
0
1
c

Страницы