Составители:
Рубрика:
104
2. Если
Y
и
Z
– решения неоднородной системы, то столбец
X
YZ=−
является решением соответствующей однородной системы.
Доказывается аналогично свойству 1.
3. Любое решение
Z
неоднородной системы представимо в виде сум-
мы
ZY X=+
, где столбец
Y
– частное решение неоднородной системы,
а столбец
X
–
решение однородной системы, соответствующей системе
(1).
4. Пусть
12
, ,...,
nr
XX X
−
фундаментальная система решений однород-
ной системы (2), а
Y
–
частное решение неоднородной системы. Тогда все
множество решений неоднородной системы представимо в виде
11 2 2
...
nr nr
ZY cX cX c X
−
−
=+ + ++ ,
где
r
– ранг матрицы системы;
rn
ccc
−
,...,,
21
– произвольные постоянные.
При этом выражение (3) называют общим решением системы.
Доказательство. По свойству 3 всякое решение неоднородной систе-
мы представимо в виде
ZY X=+
, а любое решение однородной системы
в виде
11
...
nr nr
XcX cX
−−
=++
по теореме о фундаментальной системе ре-
шений.
Пример 1. Решить однородную систему
123
12 3
12 3
20
230
33 2 0
xxx
xx x
xx x
+
+=
⎧
⎪
+
−=
⎨
⎪
+
−=
⎩
.
Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное
тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы
A этой сис-
темы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы
A
, совершая ли-
нейные преобразования над строчками
12 1 1 2 1 1 2 1
21 3 0 3 5 0 3 5
33 2 0 3 5 0 0 0
~~A
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
=− −− −−
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−−−
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Очевидно, что
2r
g
A = , т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных и
значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система
эквивалентна такой:
123
23
20
350
xxx
xx
++=
⎧
⎨
−− =
⎩
или
12 3
23
2
35
xx x
xx
+=−
⎧
⎨
=−
⎩
.
Полагая, например,
3
1x = , получим систему
12
2
21
35
xx
x
+
=−
⎧
⎨
=
−
⎩
,
решая которую находим
2
53/x =− ,
12
12 73/xx
=
−− = .
Т.е. получим ненулевое частное решение
1
73/x
=
,
2
53/x
=
− ,
3
1x = .
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
