Составители:
Рубрика:
103
1
2
...
n
x
x
X
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Рассмотрим одностолбцовую матрицу
Y :
11 2 2
...
rr nnr
YXxXxX xX
+
+−
=− − −− .
По свойствам однородных систем
Y – решение системы (1). Выполнив
все действия в правой части равенства (4), получим
12
00 0( , ,..., , , ,..., )
T
r
Y
yy y
= .
Кроме того,
Y
является решением системы (3), которая равносильна
системе (1). Нулевому значению свободных неизвестных соответствует
(единственное) нулевое решение системы (3). Значит,
0Y = . Подставив это
значение в равенство (4), получим
X
=
11 2 2
...
rr
xX xX
++
=
+++
nnr
xX
−
+ , то
есть произвольное решение
X
однородной системы (1) является линейной
комбинацией решений
12
, ,...,
nr
XX X
−
.
И так очевидно, что
12
, ,...,
nr
XX X
−
образуют фундаментальную систему
решений.
Следствие. Однородная система (1), у которой число неизвестных
n
совпадает с числом уравнений
m
, имеет ненулевое решение тогда и толь-
ко тогда, когда определитель матрицы системы
0detA
=
.
§5 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений
представив ее в матричной форме
AX B
⋅
= .
Соответствующей ей однородной системой будем называть сис-
тему
AX
⋅
= 0,
где
0
–
нулевой столбец.
1 Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь с
решением соответствующей однородной системы
1. Если
Y является решением неоднородной системы, а
X
– решени-
ем однородной системы, то
ZY X
=
+
– решение неоднородной системы
линейных уравнений
Доказательство. Из условия имеем
AY B
⋅
=
и 0AX
⋅
= .
()
.
0
AY A X A Y X A Z
A
ZB
AY A X B B
⋅+⋅=⋅ + =⋅
⎫
=
>⋅=
⎬
⋅+⋅=+=
⎭
Тогда
ZY X=+
является решением неоднородной системы.
(4)
Найдем
С другой стороны
(1)
(2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
