Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

101
Доказательство. Доказательство этой теоремы дает способ отыска-
ния фундаментальной системы решений.
Рассмотрим матрицу
A
системы (1)
11 1 1 1 1
21 2 2 1 2
11
11
... ...
... ...
... . ..
... ...
... . ..
... ...
r r n
r r n
rrrrr rn
mmrmr mn
aaa a
aaa a
A
aaa a
aaa a
+
+
+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Как и прежде, не умаляя общности, предположим, что базисный минор
находится в левом верхнем углу матрицы
A
. Тогда, по теореме о базисном
миноре строки с номерами от
1r
+
до
m
представимы в виде линейных
комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк
матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой
строки с номерами, большими
r
, нулевые. Следовательно, их можно от-
бросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной,
но имеет
r
уравнений. Запишем ее в следующем виде:
11 1 12 2 1 1 1 1 1
21 1 22 2 2 2 1 1 2
11 2 2 1 1
... ...
... ...
. . .
... ...
rr r r nn
rr r r nn
r r rr r r r r rn n
ax ax ax a x a x
ax ax ax a x a x
ax ax ax a x a x
++
++
++
+++=− −−
⎧
⎪
+++=− −−
⎪
⎨
⎪
⎪
+++=− −−
⎩
.
Неизвестные
12
, ,...,
r
xx x назовем базисными, а остальные
nr−
неиз-
вестных
12
, ,...,
rr n
xx x
++
– свободными.
Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные зна-
чения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным
образом, поскольку
*
A – квадратная матрица системы, ее элементы обра-
зуют базисный минор (
0
*
detA
≠
).
Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:
1
0
0
0
...
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
0
1
0
0
...
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
0
0
1
0
...
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; … ;
0
0
0
1
...
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
В каждом
i
-ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный
от нуля (единица), стоит на
i
-ом месте. Всего таких наборов
nr−
. Подста-
вим поочередно эти наборы значений переменных
1
,...,
rn
xx
+
в систему (3),
решим ее относительно
12
, ,...,
r
xx x и получим следующие решения:
(2)
(3)

Страницы