Составители:
Рубрика:
100
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
...
...
. . .
...
nn
nn
mm mnn
ax ax a x
ax ax a x
ax ax a x
+++=
⎧
⎪
+
++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩
или в матричной форме
0AX⋅=, где 0 – нулевой столбец.
Свойства однородной системы
1) Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (три-
виальное) решение.
2) Пусть
1
2
...
n
X
α
α
α
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
и
1
2
...
n
Y
β
β
β
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
– два решения однородной системы (1). Линейная комбинация этих ре-
шений
X
Y
λ
μ
+ , где
λ
μ
∈,R, также является решением системы. Более
того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной
системы (1) также является решением этой системы.
3) Если система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет
бесконечно много решений.
Определение. Совокупность решений
12
, ,...,
k
X
XX однородной систе-
мы (1) называется фундаментальной системой решений, если
1)
12
, ,...,
k
X
XX – линейно независимы,
2) любое решение системы
X
представимо в виде линейной комбина-
ции
12
, ,...,
k
X
XX, т.е.
12
∃∈, ,..., R
k
cc c не все равные нулю, такие, что
11 2 2
...
kk
X
cX cX c X=+ ++.
Определение. Решение системы (1) вида
11 2 2
...XcX cX
=
+++
kk
cX+ ,
где
12
, ,...,
k
X
XX – фундаментальная система решений;
12
, ,...,
k
cc c
– про-
извольные действительные постоянные, представляющее всевозмож-
ные решения системы (1) называют общим решением однородной сис-
темы.
4. Теорема (о фундаментальной системе решений)
Если ранг
r матрицы A однородной системы (1) меньше числа неизвест-
ных
n
, то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую
из
rn − решений.
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
