Составители:
Рубрика:
107
Пример 3. Решить неоднородную систему
12345
1234 5
12345
12 34 5
1234
230
22 2
14
23 24 214
322
xxxxx
xxxx x
xxxxx
xx xx x
xxxx
−+−+=
⎧
⎪
+−+−=
⎪
⎪
−+−+=
⎨
⎪
−+−+=
⎪
⎪
−−− =
⎩
.
Решение. Обозначим через
A и
r
A соответственно основную и расши-
ренную матрицы системы
121 31
21 21 1
111 11
232 42
31120
A
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
=
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−−
⎝⎠
,
121 310
21 21 12
111 1111
232 4214
311202
r
A
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
=
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−−
⎝⎠
.
Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для
этого приведем расширенную матрицу
r
A и трапециевидной форме, со-
вершая элементарные преобразования над строками
121 31 0
01 0 2 0 14
00 4 3 3 68
00 0 0 0 0
00 0 0 0 0
~
rr
AA
−−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
−−−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
%
.
При этом матрица
A перейдет в A
~
. Очевидно, что 3==
r
rgArgA , т.е.
ранги матриц
A и
r
A совпадают и меньше числа неизвестных. Значит сис-
тема совместна и имеет бесчисленное множество решений.
Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как
сумма общего решения соответствующей однородной системы и какого-
либо частного решения неоднородной.
Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную
систему с матрицей
A
~
:
12345
24
34 5
23 0
214
43 368
xxxxx
xx
xx x
−+−+=
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪
+
+=
⎩
.
За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом углу матрицы
A
~
,
т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными
1
x ,
2
x и
3
x
. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные
наборы свободных переменных
4
x и
5
x так, чтобы в каждом наборе одна
переменная равна 1, а другая 0.
Взяв
1
4
=x , 0
5
=x из системы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
