Составители:
Рубрика:
109
где
1
c и
2
c – произвольные числа.
§6 Альтернатива Фредгольма для линейных систем.
Рассмотрим линейные системы
m
уравнений с
n
неизвестными
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
. . .
...
nn
nn
mm mnnn
ax ax a x b
ax ax a x b
ax ax a x b
+++=
⎧
⎪
+
++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩
и
11 1 12 2 1
12 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
...
...
. . .
...
mm
mm
nn mnm
ay ay a y
ay ay a y
ay ay a y
+
++ =
⎧
⎪
+
++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩
.
В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:
AX B
⋅
= и 0
T
AY
⋅
= ,
т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием
матрицы коэффициентов системы (1).
Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает
так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуа-
ция, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также
называют и сами эти утверждения, от латинского alter – другой, один из
двух).
Альтернативы Фредгольма.
Для всяких систем AX B⋅= и
0
T
AY⋅= справедливо одно из двух утверждений:
1. Система
B
X
A =⋅ имеет решение при любом B тогда и только то-
гда, когда система
0
T
AY⋅= имеет только тривиальное (нулевое) реше-
ние
0Y = .
2. Система
AX B⋅= при некотором B несовместна и тогда система
0
T
AY⋅= имеет нетривиальное (ненулевое) решение.
Доказательство.
1. Пусть система (1), т.е.
AX B
⋅
= , имеет решение при любом B (лю-
бом наборе
1
,...,
m
bb). В этом случае
r
g
Am
=
, так как иначе при некотором
B r
g
A оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1)
была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как
T
r
g
Ar
g
A= , то в этих условиях mrgA
T
= , то есть равен числу неизвест-
ных в системе (2) и эта система имеет только нулевое (тривиальное) реше-
ние.
(1)
(2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
