Составители:
Рубрика:
110
2. Пусть теперь система AX B
⋅
= при некотором B несовместна.
Следовательно
r
g
Am< , значит и
T
r
g
Am
<
, т.е. ранг матрицы системы
(2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетриви-
альное) решение.
Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для
линейных операторов.
Пример 1. Дана система
1
2
23
246
x
y
zb
x
y
zb
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
.
Является ли она совместной при любых значениях
1
b и
2
b ?
Решение. Имеем
123
1
246
rg
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
.
Если же к матрице приписать справа столбец
1
0
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, то у расширенной мат-
рицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли сис-
тема
231
2460
xyz
xyz
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицатель-
ный.
В силу второй альтернативы система однородных уравнений
12
12
12
20
24 0
36 0
yy
yy
yy
+
=
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪
+
=
⎩
должна иметь нетривиальное решение. Действительно, таким решением
является, например,
2
1
=
y
, 1
2
−
=
y
.
Пример 2. Является ли система совместной при любых
1
b и
2
b ?
1
2
23
346
x
y
zb
x
y
zb
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
.
Решение. Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расши-
ренной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем
2). Значит при любых
1
b и
2
b ранг матрицы системы равен рангу расширен-
ной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос по-
ложителен.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
