Составители:
Рубрика:
112
Напомним, что уравнение прямой, записанное в таком виде, называется
общим уравнением прямой
l . Введем в рассмотрение вектор N( , )AB .
Очевидно, что
0NS⋅=, т.е. вектор N является нормалью к прямой l .
Рассмотрим теперь строгое неравенство
0Ax B
y
C
+
+>.
Напомним, что решением любого неравенства с двумя переменными
0(,)
f
x
y
> называется упорядоченная пара чисел (,)x
y
, удовлетворяющая
этому неравенству; решить неравенство – значит найти множество всех его
решений. Установим геометрический смысл неравенства (1). Для этого рас-
смотрим уравнение
0Ax B
y
C++=. На плоскости xO
y
прямая l , имею-
щая уравнение
0Ax B
y
C
+
+=, разбивает плоскость на две полуплоско-
сти I и II (рис. 4.7.2).
Покажем, что в каждой из этих плоскостей трехчлен
++Ax B
y
C имеем
постоянный знак, т.е. в одной из них выполняется неравенство
0Ax B
y
C++>, а в другой 0Ax B
y
C
+
+< (на самой прямой l трехчлен
равен нулю).
Принимая во внимание, что
00
0Ax By C
+
+=
, можем написать:
00
000
()
()()
Ax By C Ax By C Ax By C
Ax x By y MM
++=++− + +=
=−+−=
uuuuuur
00
00
()
()()N ,
o
Ax By C Ax By C Ax By C
Ax x By y MM
++=++− + +=
=−+−=⋅
uuuuuur
где
(,)Mx
y
– точка, лежащая в полуплоскости I или II. Очевидно, что
00 0
⋅= ⋅
N
N
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
MM MM MMпр .
Если предположить, что вектор нормали равен
N( , )AB , то очевидно,
что
0N
uuuuuur
MMпр имеет противоположные знаки, если точка (,)Mx
y
лежит в
полуплоскости
I
или
I
I .
Пример 1. Решить неравенство
20x
y
−
+>.
Решение. Прежде всего нарисуем прямую
l , имеющую уравнение
20x
y
−+=. Она разбивает плоскость на две полуплоскости
I
и
I
I (рис.
4.7.3). Возьмем точку
00(,)O – начало координат (не лежит в полуплоскости
Рис. 4.7.4
Рис.4.7.3
2
2
ll
II
I
2−
y
x
y
x
II
2
−
I
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
