Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

115
Глава 5
Линейные пространства и операторы
§1 Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространст-
во.
Прежде чем дать определение линейного пространства, заметим, что
существуют множества, элементы которых, независимо от их конкретной
природы, будь то векторы в общепринятом смысле, матрицы, функции и
т.д., можно складывать и умножать на число по одинаковым правилам, при-
чем эти действия обладают одинаковыми свойствами. Это обстоятельство
и позволяет ввести в рассмотрение
абстрактное множество, называемое
линейным пространством некоторых элементов, конкретная природа
которых не играет роли с точки зрения определения линейного пространст-
ва. Заметим, что элементы линейного пространства называют также точка-
ми или векторами и обозначают соответственно
a
u
r
, b
r
, x
u
r
или a, b , x , вы-
деляя их в печати, как правило, жирным шрифтом.
1 Определение линейного пространства
Определение. Множество
L элементов x ,
y
, …, z называется ли-
нейным пространством, если:
1) Для любых двух элементов
∈
xL и
∈
y
L определена операция сло-
жения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейно-
го пространства
L , называемого их суммой и обозначаемого
xy+
;
2) Для любого элемента
∈
xL и любого числа
α
– вещественного или
комплексного – определена операция умножения элемента
x
на число
α
,
т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства
L , на-
зываемого произведением элемента
x на число
α
и обозначаемого x
α
;
3) Определено равенство элементов из
L
, обозначаемое знаком
=
;
4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:
a)
xyyx+=+
(коммутативность сложения);
б)
(x
y
)zx(
y
z)++=++ (ассоциативность сложения);
в)
(x) ( )x
α
βαβ
= (ассоциативность умножения на число);
г)
()xxx
α
βαβ
+⋅=⋅+⋅ (дистрибутивность умножения по отно-
шению к сложению чисел);
д)
(x
y
)x
y
α
αα
+=⋅+⋅ (дистрибутивность умножения на число по
отношению к сложению элементов из
L );
е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для
любого элемента
∈xL, x0x
+
= ;

Страницы