Составители:
Рубрика:
116
ж) Для любого элемента
∈
xL имеет место равенство
11xxx⋅=⋅ = .
з) Для любого элемента
x
существует элемент
x−
, называемый
противоположным элементу
x
и такой, что x(x)0
+
−=.
Заметим, что если произведение
x
α
определено только для веществен-
ных чисел, то пространство
L
называется вещественным линейным
пространством; если же
α
– комплексное число, то линейное простран-
ство
L называется комплексным линейным пространством. Если из-
вестна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линей-
ное пространство называется конкретным.
Свойства линейного пространства.
1) В каждом линейном пространстве существует единственный элемент
0.
2) В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует
единственный противоположный элемент.
3) Для всякого элемента
∈xL справедливо равенство 0 x0
⋅
= .
Произведение любого числа
α
на нулевой элемент линейного простран-
ства равно нулевому элементу, т.е.
00
α
⋅
= .
4) Для каждого элемента
∈xL
противоположный элемент равен произве-
дению этого элемента на число
1
−
, т.е. 1x()x
=
−⋅
2 Базис линейного пространства и координаты вектора. Раз-
мерность линейного пространства
Пусть векторы (элементы)
1
a ,
2
a , …,a
n
принадлежат линейному про-
странству
L и пусть
1
c ,
2
c , …,
n
c – какие-то произвольные числа.
Выражение
11 2 2
aa...a
nn
cc c+++ называется линейной комбинацией век-
торов (элементов)
1
a ,
2
a , …,a
n
, а числа
1
c ,
2
c , …,
n
c – коэффициентами
этой линейной комбинации.
Определение 1. Векторы (элементы)
1
a ,
2
a , …,a
n
называются ли-
нейно зависимыми, если
11 2 2
aa...a0
nn
cc c
+
++ =,
при условии, что не все коэффициенты этой линейной комбинации равны
нулю; если же соотношение (1) выполняется лишь при условии, что
12
0...
n
cc c====, то векторы называются линейно независимыми.
Нетрудно показать, что если векторы
1
a ,
2
a , …,a
n
линейно зависимы, то
хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации ос-
тальных и наоборот; кроме того, если векторы
1
a
,
2
a
, …,
a
n
линейно неза-
висимы, то ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации
остальных и наоборот.
Определение 2. Любая совокупность
n линейно независимых векто-
ров
1
e ,
2
e ,…,e
n
линейного пространства L называется базисом этого
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
