Составители:
Рубрика:
118
Можно доказать, что если линейное пространство L имеет базис, то он
не единственный. Однако же различные базисы данного линейного про-
странства состоят из одного и того же числа
n векторов, которое и опреде-
ляет размерность линейного пространства.
Определение 3. Говорят, что линейное пространство имеет раз-
мерность равную
n , если n – число базисных векторов; пространство
при этом обозначают
L
n
.
Если
1
L
n
и
2
L
n
– два линейных пространства (оба вещественных или оба
комплексных) и если
11
∈xL
n
и
22
∈
xL
n
, то между ними можно установить
взаимно однозначное соответствие, точно так же, как и между произведе-
ниями
1
x
α
и
2
x
α
и суммами
11
xy
+
и
22
xy
+
, где
11
∈
yL
n
и
22
∈yL
n
. Такое
свойство линейных пространств называется изоморфизмом, а сами ли-
нейные пространства называются изоморфными.
Введенное ранее линейное пространство с базисом
i ,
j
, k – простран-
ство обычных векторов – обозначают
3
R и называют его геометрическим
пространством, или координатным пространством. Понятие гео-
метрического (координатного) пространства можно обобщить в смысле уве-
личения его размерности, т.е. можно рассматривать геометрическое (ко-
ординатное) пространство
R
n
.
В заключение заметим, что если базис состоит из конечного числа эле-
ментов, то такое линейное пространство называется конечномерным, ес-
ли же существует бесконечно много линейно независимых векторов, то та-
кое линейное пространство называется бесконечномерным. Примером
бесконечномерного пространства может служить пространство всевозмож-
ных функций, непрерывных на данном промежутке, линейные операции в
котором определяются обычным образом.
3 Подпространство линейного пространства
Определение. Подпространством
1
L линейного пространства L
n
называется множество элементов из
L
n
, которое само является про-
странством, т.е. из
1
∈xL,
1
∈yL =>
1
α
β
+
∈xyL.
Свойства подпространства линейного пространства
L
n
1) Размерность любого подпространства пространства
L
n
не превосхо-
дит
n . Очевидно, что само линейное пространство L
n
является подпро-
странством наибольшей размерности,
2) Если
L
n
– подпространство линейного пространства L
n
(m<n), то лю-
бой базис этого подпространства
12
e ,e ,...,e
m
можно дополнить векторами
1
e
m +
,
2
e
m +
, …, e
n
таким образом, что совокупность векторов
12 1
e ,e ,...,e ,e ,...,e
mm n+
будет являться базисом линейного пространства
L
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
