Составители:
Рубрика:
120
Далее, умножая ненулевой вектор x на число
1
x
α
=
, мы получим век-
тор
0
x
x
x
= , длина которого равна единице. Эта операция называется нор-
мированием вектора
x
.
Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора
(
)
12
x...
T
n
xx x= можно определить формулой:
22 2
12
x ...
n
xx x=+++.
2 Неравенство Коши-Буняковского
4
Пусть
x
n
∈E и y
n
∈E – любые два вектора. Докажем, что для них имеет
место неравенство:
(x,
y
)x
y
≤⋅ (Неравенство Коши-Буняковского).
Доказательство. Пусть
α
– любое вещественное число. Очевидно,
что
0(x
y
,x
y
)
α
α
−−≥. С другой стороны, в силу свойств скалярного произ-
ведения можем написать
2
2
α
ααα αααα α
αα
−−= −−−= −−+=
=−+
(x
y
,x
y
)(x,x
y
)(
y
,x
y
)(x,x)(x,
y
)(
y
,x) (
y
,
y
)
(x,x) (x,y) (y,y).
Итак,
2
20(x,x) (x,
y
)(
y
,
y
)
αα
−+≥.
Дискриминант этого квадратного трехчлена не может быть положитель-
ным, т.е.
2
0(x,
y
)(x,x)(
y
,
y
)−⋅≤, откуда вытекает:
2
(x,
y
)(x,x)(
y
,
y
)≤⋅ => (x,
y
)x
y
≤
⋅ .
Неравенство доказано.
3 Неравенство треугольника
Пусть
x и
y
– произвольные векторы евклидова пространства
n
E , т.е.
∈xE
n
и ∈yE
n
.
Докажем, что
x
y
x
y
+≤+. (Неравенство треугольника).
Доказательство. Очевидно, что
2
(x
y
,x
y
)x
y
+
+=+.
С другой стороны,
22
22(x
y
,x
y
)(x,x) (x,
y
)(
y
,
y
)x (x,
y
)
y
++= + + =+ +.
Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим
22 2
2
2x
y
xx
yy
(x
y
)+≤+ ⋅+ =+ => x
y
x
y
+
≤+.
Неравенство треугольника доказано.
4 Норма евклидова пространства
4
Коши О.Л. (1789-1857) – французский математик.
Буняковский В.Я (1804 – 1889) – русский математик.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
