Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

121
Определение 1. Линейное пространство L называется метриче-
ским, если любым двум элементам этого пространства
x и
y
постав-
лено в соответствие неотрицательное число
(x,
y
)
ρ
, называемое рас-
стоянием между
x и
y
, 0((x,
y
))
ρ
≥ , причем выполняются условия (ак-
сиомы):
1)
0(x,
y
)
ρ
= Ù x
y
= ;
2)
(x,
y
)(
y
,x)
ρ
ρ
= (симметрия);
3) для любых трех векторов
x ,
и z этого пространства
(x,
y
)(x,z)(z,
y
)
ρ
ρρ
≤+.
Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют
точками.
Очевидно, что евклидово пространство
n
E – метрическое, причем в ка-
честве расстояния между векторами
x
n
∈
E
и y
n
∈E
можно взять
x
y
−
.
Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где
1
2
x
...
n
x
x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
1
2
y
...
n
y
y
y
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
получим
(
)
11 2 2
xy ...
T
nn
xyxy x y−= − − − ,
следовательно,
22 2
11 2 2
( , ) ( ) ( ) ... ( )
nn
xy x y x y x y
ρ
=−+−++−
.
Определение 2. Линейное пространство
L называется нормирован-
ным, если каждому вектору
x из этого пространства поставлено в со-
ответствие неотрицательное число, называемое его нормой
x . При
этом выполняются аксиомы:
1)
0x ≥
x∀∈
;
0x =
Ù x0
=
;
2)
xx
λλ
=⋅ для ∀∈xL и любого числа
λ
;
3)
x
y
x
y
+≤ + для ∀∈xL и
∀
∈
y
L (неравенство треугольника).
Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метриче-
ским пространством. В самом деле, в качестве расстояния между
x и
y
можно взять
x
y
− . В евклидовом пространстве
n
E в качестве нормы лю-
бого вектора
x
n
∈E принимается его длина, т.е. xx
=
.
Нетрудно убедиться, что все аксиомы нормы выполняются для выбран-
ной таким образом нормы евклидова пространства
n
E .
Итак, евклидово пространство
n
E является метрическим пространством
и более того, евклидово пространство
n
E является нормированным про-
странством.

Страницы