Составители:
Рубрика:
119
Линейное подпространство, имеющее своим базисом совокупность век-
торов
12
e ,e ,...,e
m
, иногда называют линейной оболочкой, натянутой на эти
векторы.
§2 Евклидово пространство
n
E .
1 Определение евклидова пространства
Определение 1. Вещественное линейное пространство называется
евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответст-
вие любым двум векторам
x и
y
из этого пространства число, называе-
мое скалярным произведением векторов
x и
y
и обозначаемое (x,
y
), для
которого выполнены условия:
1.
(x,
y
)(
y
,x)= ;
2.
(x
y
,z) (x,z) (
y
,z)+= + , где z – любой вектор, принадлежащий дан-
ному линейному пространству;
3.
(x,
y
)(x,
y
)
α
α
= , где
α
– любое число;
4.
0(x,x)≥ , причем 0(x,x)
=
Ù x0
=
.
Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное
произведение векторов
1
2
x
...
n
x
x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
и
1
2
y
...
n
y
y
y
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
можно определить формулой
()
11 1
22 2
12
(x,y) ...
... ... ...
T
n
nn n
xy y
xy y
xx x
xy y
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
=⋅= ⋅
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
.
Евклидово пространство размерности
n обозначают
n
E . Заметим, что
существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы про-
странства.
Определение 2. Длиной (модулем) вектора
x в евклидовом про-
странстве
n
E называют (x,x) и обозначают ее так: x(x,x)= . Очевид-
но, что у всякого вектора евклидова пространства существует длина, при-
чем у нулевого вектора она равна нулю.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- …
- следующая ›
- последняя »
