Составители:
Рубрика:
117
пространства, если всякий вектор
∈
xL можно представить в виде ли-
нейной комбинации векторов
1
e ,
2
e , …,e
n
, т.е. x
=
11 2 2
ee...e
nn
xx x
=
+++.
Такое представление вектора
x называется разложением его по данно-
му базису. Числа
1
x ,
2
x , …,
n
x , которые являются коэффициентами в раз-
ложении вектора по данному базису, называются координатами вектора в
этом базисе и записываются так:
12
x ( , ,..., )
n
xx x
=
или так
12
[, ,..., ]
n
xx x , или
в виде матрицы-столбца:
1
2
...
n
x
x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Теорема. Координаты вектора
x
∈
L относительно некоторого базиса
12
e ,e ,...,e
n
этого линейного пространства определяются единственным об-
разом.
Доказательство. Пусть имеет место такое разложение вектора
x
∈
L
относительно некоторого базиса этого линейного пространства:
11 2 2
xe e...e
nn
xx x
=
+++,
и пусть имеет место другое разложение этого же вектора относительно это-
го же базиса:
11 2 2
xe e...e
nn
xx x
′
′′
=+ ++
.
Вычитая почленно (3) из (2), получим:
111 2 2 2
( )e ( )e ... ( )e 0
nnn
xx xx x x
′′ ′
−⋅+−⋅++− ⋅=.
Так как базисные векторы
1
e ,
2
e ,…,e
n
линейно независимы, то это зна-
чит, что коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями,
значит
11
xx
′
= ,
22
xx
′
= , …,
nn
xx
′
= . Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим пространство многочленов
()
n
Px сте-
пени
n≤ . В качестве базиса можно взять одночлены
2
1, , ,...,
n
xx x. Дейст-
вительно, они линейно независимы, и любой многочлен
()
n
Px можно пред-
ставить в виде:
2
01 2
() ...
n
nn
Px a ax ax ax=+ + ++ .
В силу определения коэффициенты
0
a ,
1
a , …,
n
a являются координата-
ми многочлена
()
n
Px в выбранном базисе, т.е. можно записать:
012
( ) ( , , ,..., )
nn
Px aaa a= или
0
1
()
...
n
n
a
a
Px
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
(2)
(3)
(4)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
