Составители:
Рубрика:
122
5 Угол между векторами
Заметим, что из неравенства Коши-Буняковского следует, что
1
(x,
y
)
xy
≤
⋅
( 0x
≠
, 0
y
≠
).
Определение 1. Углом между ненулевыми векторами
a и b евкли-
дова пространства
n
E называют число 0[, ]
ϕ
π
∈
, для которого
(a,b)
cos
ab
ϕ
=
⋅
.
Определение 2. Векторы
x и
y
евклидова пространства E называ-
ются ортогональными, если для них выполняется равенство
0(x,
y
) = .
Если
x и
y
– ненулевые, то из определения следует, что угол между
ними равен
2
π
. Заметим, что нулевой вектор по определению считается
ортогональным любому вектору.
Пример. В геометрическом (координатном) пространстве
3
R , которое
является частным случаем евклидова пространства, орты
i
,
j
и
k
взаимно
ортогональны.
6 Ортонормированный базис
Определение 1. Базис
12
e ,e ,...,e
n
евклидова пространства
n
E называ-
ется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональ-
ны, т.е. если
0(e ,e )
ij
=
12 12( ; , ,..., ; , ,..., )i
j
in
j
n≠= = .
Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса
12
e ,e ,...,e
n
единичны, т.е.
1e
i
= 12(,,...,)in= , то базис называется ортонормиро-
ванным, т.е. для ортонормированного базиса
0
1
,
(e ,e )
,
ij
i
j
i
j
≠
⎧
=
⎨
=
⎩
12 12( , ,..., ; , ,..., )in
j
n
=
= .
Теорема (о построении ортонормированного базиса).
Во всяком евклидовом пространстве
n
E существуют ортонормирован-
ные базисы.
Доказательство. Докажем теорему для случая
3n
=
.
Пусть
123
,,EEE
– некоторый произвольный базис евклидова пространства
3
E
. Построим какой-нибудь ортонормированный базис
0
1
e,
00
23
e,e
в этом
пространстве.
Положим
112 2 1
e,e e
α
==+EE
, где
α
– некоторое вещественное число,
которое выберем таким образом, чтобы было
12
0(e ,e )
=
, тогда получим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- …
- следующая ›
- последняя »
