Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

123
12 1 12 12
0(, )(, ) (, )
α
α
+= + =EE E EE EE
=>
12
11
(, )
(,)
α
=−
EE
EE
,
причем очевидно, что
0
α
= , если
1
E
и
2
E
ортогональны, т.е. в этом случае
22
e = E
, а
2
0≠E
, т.к. это базисный вектор.
Далее, определим вектор
3
e
равенством
331122
eee
β
β
=
++E
, причем чис-
ла
1
β
и
2
β
определяется из условия ортогональности вектора
3
e
с вектора-
ми
1
e
и
2
e
, т.е.
31
32
0
0
(e ,e )
(e ,e )
=
⎫
⎬
=
⎭
=>
13 111 212
23 112 222
0
0
(e , ) (e ,e ) (e ,e )
(e , ) (e ,e ) (e ,e )
ββ
ββ
++ =
⎫
⎬
+
+=
⎭
E
E
.
Учитывая, что
12
0(e ,e ) = , получим
13 23
12
11 2 2
(e,) (e,)
;
(e ,e ) (e ,e )
ββ
=− =−
EE
.
Очевидно, что
12
0
β
β
==
, если
1
e
и
2
e
ортогональны с вектором
3
E
, т.е.
в этом случае следует взять
33
e
E
. Вектор
3
0
≠
E
, т.к.
12
,EE
и
3
E
линейно
независимы, следовательно
3
e0
≠
.
Кроме того, из приведенного рассуждения следует, что
3
e
нельзя пред-
ставить в виде линейной комбинации векторов
1
e
и
2
e
, следовательно век-
торы
123
e,e,e
линейно независимы и попарно ортогональны, следовательно,
их можно взять в качестве базиса евклидова пространства
3
E . Остается
только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из
построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим
0
1
1
1
e
e
e
=
;
0
2
2
2
e
e
e
=
;
0
3
3
3
e
e
e
=
.
Итак, мы построили базис
000
123
e,e,e
– ортонормированный базис. Тео-
рема доказана.
Примененный способ построения ортонормированного базиса из произ-
вольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что
в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортого-
нальные векторы линейно независимы. Кроме того, если
00 0
12
e ,e ,..., e
n
– ор-
тонормированный базис в
n
E , тогда для любого вектора
∈xE
n
имеет ме-
сто единственное разложение
00 0
11 2 2
xe e...e
nn
xx x=+ ++
,
где
12
, ,...,
n
xx x
– координаты вектора
x
в этом ортонормированном базисе.
Так как
00
0
1
,
(e ,e )
,
ij
ij
ij
≠
⎧
=
⎨
=
⎩
12 12( , ,..., ; , ,..., )in
j
n
=
=
,
(1)

Страницы