Составители:
Рубрика:
125
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
(...)e
( ... )e
. . . . . .
( ... )e .
nn
nn
nn nnnn
ax ax a x
ax ax a x
ax ax a x
=
+++ +
+
+++ +
+
+
++++
В силу единственности разложения по данному базису мы можем при-
равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (3)
и (5); тогда получим:
1111122 1
2211222 2
11 2 2
... ,
... ,
.....
... .
nn
nn
nn n nnn
y
ax ax a x
y
ax ax a x
y
ax a x a x
=+ ++
=+++
=+ ++
Итак, линейному оператору
A в данном базисе соответствует квадрат-
ная матрица
11 12 1
21 22 21
12
...
...
A
......
...
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
которая называется матрицей линейного оператора
A , i -й столбец кото-
рой состоит из координат вектора
e
i
A 12(,,...,)in
=
относительно данного
базиса. Отметим, что матрица
A оператора A зависит от выбора базиса
12
e ,e ,...,e
n
пространства
n
L .
Введем теперь в рассмотрение одностолбцовые матрицы
(
)
12
...
T
n
Xxx x=
и
(
)
12
... ,
T
n
Yyy y=
соответствующие векторам
x
n
∈
E
и y
n
∈E . Тогда соотношения (6) в мат-
ричном виде можно записать так:
A.YX
=
⋅
Итак, мы показали, что всякому линейному оператору
A
в евклидовом
пространстве
n
E соответствует матрица
A
; можно доказать и обрат-
ное утверждение: всякую квадратную матрицу
A
можно рассматривать
как матрицу некоторого линейного оператора
A
в данном базисе
12
e ,e ,...,e
n
.
Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие
операторы, матрицы которых имеют обратную
1
A
−
, т.е. также являются не-
вырожденными. В этом случае каждому вектору
y
(образу), определенному
соотношением (1), отвечает единственный вектор
x
(прообраз) и при этом
имеет место матричное равенство:
(6)
(7)
(8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
