Составители:
Рубрика:
128
1. Сложение линейных операторов. Пусть
x
n
∈
E
,
A
и B – два ли-
нейных оператора в этом пространстве.
Определение 1. Суммой линейных операторов
A
и B в
n
E
назы-
вается оператор
C, определяемый равенством
xxx
=
+CA B
, где
x
–
любой вектор из
n
E
.
Очевидно, что сумма линейных операторов является линейным опера-
тором, причем его матрица
CAB=+, где
A
и
B
– матрицы линейных опе-
раторов
A
и B .
2. Умножение линейного оператора на число. Пусть
x
n
∈E
, линей-
ный оператор
A
определен в
n
E ,
α
– некоторое число.
Определение 2. Произведением линейного оператора
A
на число
α
называется оператор
α
A
, определяемый равенством
()x (x), x
n
αα
⋅= ⋅ ∀∈EAA .
Очевидно, что
α
A
является линейным оператором, а матрица этого ли-
нейного оператора получается из матрицы
A
умножением ее на число
α
,
т.е. она равна
A
α
⋅ .
3. Умножение линейных операторов. Пусть
x
n
∈
E
, y
n
∈E ,
z
n
∈E
и
кроме того в
n
E определены линейные операторы
A
и B таким образом,
что
y
x, z
y
=
=BA
.
Определение 3. Произведением
⋅
AB
линейных операторов
A
и
B называется оператор C, определяемый соотношением
x(x)=CABx
.
Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последо-
вательном их применении по отношению к вектору
x
.
Рассмотрим матрицы-столбцы:
111
222
;;
... ... ...
nnn
xyz
xyz
XYZ
xyz
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
===
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
и обозначим через
A
,
B
и
C
– соответственно матрицы линейных опера-
торов
A
, B и C. Тогда очевидно, что ()()ZX X
=
⋅⋅ =⋅⋅=AB AB
X
=⋅C ,
таким образом,
=⋅CAB
, т.е. произведение матриц линейных операторов
также является матрицей линейного оператора.
Действительно,
a)
()(x
y
)((x
y
)) ( x
y
)(x)(
y
)⋅+= += += + =A B AB AB B AB AB
()x()
y
=⋅⋅+⋅⋅AB AB
б)
( )(x) ((x)) ( x) (x) ( )x
α
ααα α
⋅= = = =⋅A B AB A B AB A B
Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умно-
жения матриц.
§4 Замена базиса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
