Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

129
1 Матрица преобразования координат.
Возьмем в пространстве
n
E два различных базиса
12
e ,e ,...,e
n
и
12
, ,...,
n
EE E
.
Рассуждение проведем для случая
3n
=
. Очевидно, что один и тот же
вектор
x
относительно различных базисов имеет различные координаты.
Действительно, ограничиваясь случаем
3n
=
, можем написать:
11 2 2 3 3
xe e e,xx x
=
++
11 2 2 3 3
x.xx x
′
′′
=+ +EEE
Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.
1111212313
eee,
τ
ττ
=
++E
2121222323
eee,
τ
ττ
=
++E
3131232333
eee.
τ
ττ
=
++E
Подставим (3) в (2):
1 111 212 313 2 121 222 323 3 131 232 333
x(e e e)(e e e)(e e e)xx x
ττ τ ττ τ ττ τ
′′′
=++++++++=
11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3
()e( )e()e.xxx xx x xx x
τττ ττ τ ττ τ
′′′ ′′′ ′′′
=++ +++ +++
В силу единственности разложения по данному базису мы должны при-
равнять коэффициенты при векторах
123
e,e,e в правых частях формул (1) и
(4). Тогда получим:
1111 122 133
,
xxx
ττ τ
′
′′
=++
2211 222 233
,
x
xxx
ττ τ
′
′′
=++
3311 322 333
.
x
xxx
ττ τ
′
′′
=++
Введем в рассмотрение матрицы
1
111121
221222
2
12
...
...
;;
... . . ... .
...
...
n
n
nnnnn
n
x
x
x
x
XX
x
x
τ
ττ
τ
ττ
τ
ττ
⎛⎞
′
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
′
⎜⎟ ⎜ ⎟
′
===
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
′
⎝⎠
T
.
Тогда соотношения (5) можно записать в матричном виде
X
X
′
=
⋅T .
Матрица
T называется матрицей преобразование координат при
переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса
12
e ,e ,...,e
n
к базису
12
, ,...,
n
EE E. Причем, столбцами матрицы преобразования координат явля-
ются координаты вектора нового базиса
12
, ,...,
n
EE E относительно старого
базиса
12
e ,e ,...,e
n
.
Если преобразования координат состоит в повороте координатных осей,
то матрица
T называется матрицей поворота.
Пример. При повороте координатных осей
xO
y
на угол
α
мы имели
(рис. 5.4.1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Страницы