Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

131
или
AYX
=
⋅ ,
где
(
)
12
...
T
n
Yyy y=
,
(
)
12
...
T
n
Xxx x=
– матрицы-столбцы, со-
ставленные из координат векторов
x
и
y
относительно данного базиса
12
e ,e ,...,e
n
,
A
– матрица линейного оператора
A
.
Выберем в том же пространстве
n
E
другой базис
12
, ,...,
n
EE E
. Относи-
тельно нового базиса матрица линейного оператора
A
будет иной. Обо-
значим через
T матрицу преобразования координат, а через
X
′
и Y
′
– од-
ностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов
x
и
y
отно-
сительно нового базиса, т.е.
,
X
X
′
⋅T
.YY
′
=
⋅T
Подставим (3) и (4) в (2), тогда получим:
A.YX
′
′
⋅
=⋅⋅TT
Умножая левую и правую части равенства (5) слева на
1−
T
, получим:
1
A.YX
−
′
′
=
⋅⋅⋅TT
Если к тому же
T – ортогональная матрица, т.е. осуществляет переход
от одного ортонормированного базиса к другому, то
A.
T
YX
′
′
=
⋅⋅⋅TT.
Итак, если в
n
E перейти к новому базису, то матрица линейного опера-
тора также изменится и в самом общем случае будет равна
1−
⋅
⋅TAT
.
§6 Сопряженный и самосопряженный оператор.
Пусть в вещественном евклидовом пространстве
n
E определен линей-
ный оператор
A
.
Определение 1. Оператор
∗
A в вещественном евклидовом про-
странстве
n
E
называется сопряженным по отношению к линейному
оператору
A
в том же пространстве, если его матрица в любом орто-
нормированном базисе этого пространства является транспонирован-
ной по отношению к матрице оператора
A
.
Свойства сопряженного оператора
1)
∗
=EE
, где
E
– тождественный оператор, т.е. оператор, матрица кото-
рого
E
единичная в
n
E ;
2)
()
∗∗∗
+=+AB A B;
3)
()
∗∗∗
⋅=⋅AB B A;
4) если
1−
A существует, то
11
()()
−
∗∗−
=AA.
Определение 2. Линейный оператор
A
, определенный в веществен-
ном евклидовом пространстве
n
E , называется самосопряженным, или
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

Страницы