Составители:
Рубрика:
132
симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным оператором
∗
A , т.е. если
∗
=AA.
Очевидно, что матрица самосопряженного оператора совпадает с транс-
понированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симмет-
ричной относительно главной диагонали.
Свойства самосопряженного оператора
1) Если
,
∗∗
==AABB, то ()
∗∗∗
+
=+=+AB A B AB.
2) Если
A
– невырожденный самосопряженный оператор, то
111
()()
−
∗∗−−
==AAA
.
Доказательство. Действительно, если существует
1−
A и кроме того
∗
=AA, то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим
111
()()
−∗ ∗− −
==AAA.
3) Если
A
– самосопряженный оператор в вещественном пространстве
n
E
, то имеет место равенство:
(x,z)(x, z),x,z .
n∗
=∀∈EAA
Действительно, вводя в рассмотрение одностолбцовые матрицы
X
и
Z
, и учитывая, что ()
TTT
⋅=⋅AB B A, для скалярного произведения (x,z)A
получим:
(A ) A
TTT
X
ZX Z⋅⋅=⋅⋅.
В свою очередь для скалярного произведения
(x, z)
∗
A имеем
A
TT
X
Z⋅⋅
.
Следовательно, равенство (1) верно.
§7 Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора.
Пусть
A
– линейный оператор. Пусть
1
x
∈
E
, где
1
E некоторое подпро-
странство пространства
n
E
. Вектор
y
x
=
A
может принадлежать подпро-
странству
1
E , а может и не принадлежать.
Определение 1. Подпространство
1
E
называется инвариантным по
отношению к оператору
A
, если
1
x
∈
EA
,
1
x
∀
∈E
.
Определение 2. Ненулевой вектор
x называется собственным век-
тором линейного оператора
A
, если найдется такое число
λ
, что бу-
дет выполняться равенство
xx
λ
=
A
.
При этом число
λ
называют собственным значением (собствен-
ным числом) оператора
A
, соответствующим вектору
x
. Множество
всех собственных значений оператора
A
называется его спектром.
Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векто-
ров линейного оператора
A
.
Рассмотрение проведем для случая
3n
=
.
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- …
- следующая ›
- последняя »
