Составители:
Рубрика:
133
Итак, пусть в некотором базисе оператор
A
имеет матрицу
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
aaa
aaa
aaa
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
A
и пусть одностолбцовая матрица
(
)
12
...
T
n
Xxx x=
соответствует век-
тору
x
. Тогда в силу определения
A
X
X
λ
⋅= => 0AE
X
X
λ
⋅
−= =>
(A E) 0.
X
λ
−
⋅=
Итак, дело свелось к решению системы линейных однородных уравне-
ний, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет нену-
левое решение, если
0det(A E)
λ
−
= . Уравнение 0det(A E)
λ
−
= называет-
ся характеристическим, или вековым уравнением оператора
A
; много-
член
det(A E)
λ
− называется соответственно характеристическим мно-
гочленом оператора
A
. В координатной форме характеристическое
уравнение выглядит так:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0.
aaa
aa a
aaa
λ
λ
λ
−
−
=
−
Решив его, найдем
123
,,
λ
λλ
– собственные значения линейного операто-
ра. Можно показать, что собственные значения оператора
A
не зависят от
выбора базиса, т.е. матрицы
A и
1
A
−
⋅
⋅TT имеют одинаковый набор собст-
венных значений. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы
A
,
которую называют следом этой матрицы
trA или следом оператор
(tr )AA
, справедлива формула
123
λ
λλ
+
+=
11 22 33
aaa
=
++
. Кроме того,
123
detA
λ
λλ
=
.
После того как найдены собственные значения линейного оператора
A
,
остается подставить их по очереди в уравнение (1) и найти соответствую-
щие собственные векторы
123() ( ) ()
x,x,x.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные числа линейного
оператора, матрица которого
12
21
A.
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
Решение. В силу определения собственного вектора можем написать
0A
X
X
λ
⋅−⋅= => (A E) 0
X
λ
−⋅ ⋅ =, где
(
)
12
T
Xxx= – матрица-
столбец, соответствующая искомому вектору
x линейного оператора
A
;
В матричной форме получим:
1
2
12 0
21 0
.
x
x
λ
λ
−
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⋅=
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
(1)
(2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
