Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

134
Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множе-
ство решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характе-
ристическое уравнение:
12
0
21
.
λ
λ
−
=
−
Решая его, получим такие собственные значения
12
13;
λ
λ
=
−=
.
Найдем соответствующие собственные векторы.
1)
1
1
λ
=− подставим в (2), получим
1
1
1
2
22 0
22 0
()
()
x
x
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⋅=
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
Ù
12
12
0
() ( )
xx
+
=
=>
111
12
() () ()
xxt
=
−=
,
где
1()
t
– некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллине-
арных векторов, соответствующих первому собственному числу
1
1
λ
=−
:
1
1
1
()
()
()
.
t
X
t
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный
собственный вектор, соответствующий первому собственному числу
1
1
λ
=
−
т.е.
10
1
2
1
2
()
,X
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
2)
2
3
λ
= подставим в (10), получим
1
1
2
2
22 0
22 0
()
()
x
x
⎛⎞
−
⎛⎞ ⎛⎞
⋅=
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
−
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
=>
22
12
0
() ()
xx
−
= =>
222
12
() () ()
xxt==, т.е.
2
2
2
()
()
()
t
X
t
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
;
20
1
2
1
2
()
.X
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
В заключение заметим, что множество всех векторов
yx
=
A , где ∈xE
n
,
называется областью значений линейного оператора
A в
n
E , а множество
всех векторов
1
x
n
∈⊂EE, таких, что x0
A , называется ядром линейно-
го оператора.
1 Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопря-
женного оператора

Страницы