Составители:
Рубрика:
135
Рассмотрим самосопряженный оператор A , определенный в вещест-
венном евклидовом пространстве
n
E
. В силу определения матрица его
A
–
симметрическая.
Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора
A есть
вещественные числа (без доказательства).
Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собст-
венным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
Доказательство. Пусть
1
λ
и
2
λ
– различные собственные значения
самосопряженного оператора
A , а
1
x и
2
x – соответствующие им собст-
венные значения.
Очевидны равенства:
111
xx
λ
=
A ,
222
xx
λ
=
A .
Следовательно,
12 112
12 212
(x,x) (x,x)
(x , x ) (x ,x )
λ
λ
=
⎫
⎬
=
⎭
A
A
.
Но
12 1 2
(x,x)(x,x)=AA т.е. левые части равенств (3) равны, следова-
тельно, вычитая их почленно, получим:
12 12
0()(x,x)
λ
λ
−⋅ = =>
12
0(x ,x )
=
,
а это и означает, что собственные векторы
1
x и
2
x ортогональны.
Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора
A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в ко-
тором определен этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор
на его длину, мы получаем ортонормированный базис.
Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопря-
женного оператора матрица этого оператора диагональная, причем эле-
ментами диагонали являются ее собственные числа.
Доказательство.
Доказательство проведем для случая 3n = . Пусть
123
e,e,e – единичные векторы самосопряженного оператора A относитель-
но некоторого базиса линейного пространства
3
E , отвечающие собствен-
ным значениям
123
,,
λ
λλ
этого линейного оператора, т.е.
111
ee
λ
=
A ,
222
ee
λ
=A ,
333
ee
λ
=
A . Примем векторы
123
e,e,e за базис линейного про-
странства. Очевидно, что в этом базисе векторы
11
e
λ
,
22
e
λ
,
33
e
λ
имеют ко-
ординаты:
11 1
00e(,,);
λ
λ
=
22 2
00e(,,);
λ
λ
=
33 3
00e(,,)
λ
λ
=
. Следовательно,
матрица
A оператора A в базисе
123
e,e,e имеет вид:
(1)
(2)
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- …
- следующая ›
- последняя »
