Составители:
Рубрика:
137
11 12 1
21 22 2
12
...
...
A.
......
...
n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Матрица
A
называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что
она симметрична относительно главной диагонали и квадратичную форму
(1) в матричном виде можно записать так:
12
( , ,..., ) A .
T
n
xx x X XΦ=⋅⋅
Оператор
A
, имеющий матрицу
A
, самосопряженный. Допустим, что
оператор
A
имеет
n
различных собственных значений
12
, ,...,
n
λ
λλ
, кото-
рым соответствуют
n
взаимно ортогональных собственных векторов
12
e ,e ,...,e
n
.
Примем эти векторы за новый базис. Обозначим через
T
матрицу пре-
образования координат. Ясно, что матрица
T
ортогональная.
Итак, положим
′
=
⋅XTX,
где
(
)
12
...
T
n
Xxx x
′′ ′
′
=
– вектор-столбец, составленный из координат
вектора относительно нового базиса. Подставим (5) в (4), тогда получим
квадратичную форму относительно нового базиса
12
(,,...,)() ().
T
n
xx x X X
′′ ′
′
′
Φ=⋅⋅TAT
Напомним, что
()
TTT
⋅=⋅AB B A. Учитывая кроме того, что
1T
−
=TT
, так
как
T
– ортогональная матрица, получим
1
12
( , ,..., ) A .
T
n
xx x X X
−
′′ ′
′′′
Φ=⋅⋅⋅⋅TT
Итак, матрица квадратичной формы относительно нового базиса равна
1
A
−
⋅⋅TT
. Нетрудно заметить, что она диагональная, причем на главной
диагонали стоят собственные значения
12
, ,...,
n
λ
λλ
оператора
A
. Заметим
(это было показано раньше), что в качестве столбцов матрицы
T
следует
взять координаты собственных векторов оператора
A в исходном базисе.
Приведение квадратичной формы к виду, при котором матрица квадра-
тичной формы имеет диагональный вид, называется приведением квад-
ратичной формы к каноническому виду.
§9 Геометрические приложения теории квадратичных форм в
пространствах
2
R и
3
R .
(3)
(4)
(5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- …
- следующая ›
- последняя »
