Составители:
Рубрика:
138
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка:
22
11 12 22 1 2 0
20ax axyay axaya+++++=.
На первые три слагаемых можно смотреть как на квадратичную форму
22
11 12 22
2(,)x
y
ax ax
y
a
y
Φ=+ +.
Матрица этой квадратичной формы
11 12
21 22
aa
aa
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
A
.
Найдем характеристические числа этой матрицы
1
λ
и
2
λ
и соответст-
вующие им единичные векторы
10()
X
и
20()
X
, которые примем за орты ново-
го базиса
1
E и
2
E . Переход от базиса i ,
j
к новому базису
1
E ,
2
E осуществ-
ляется матрицей
T
.
X
X
′
=
⋅T ,
где
11 12
21 22
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
EE
EE
T
,
причем в качестве столбцов этой матрицы берутся координаты векторов
1
E
и
2
E в исходном базисе i ,
j
.
После такого преобразования квадратичная форма относительно базиса
1
E ,
2
E имеет вид
22
12
(,)x
y
x
y
λλ
′′ ′ ′
Φ=+
. Теперь остается преобразовать ли-
нейные члены уравнения (1). Для этого достаточно заменить в линейных
слагаемых
x и
y
по формулам
11 12
21 22
xx
y
y
x
y
′
′
=
+
′
′
=+
EE
EE
,
которые следуют из формул (2) и (3).
Заметим, что это преобразование представляет собой переход от ста-
рой системы координат
xO
y
к новой xO
y
′
′
, повернутой относительно ста-
рой системы на некоторый угол
α
. Напомним, что формулы преобразова-
ния координат при повороте координатных осей на угол
α
имеют вид:
cos sin ,
sin cos
xx y
y
x
y
α
α
α
α
′′
=−
⎫
⎬
′′
=+
⎭
.
Правые части этих соотношений совпадают с правыми частями соотно-
шений (4), откуда и можно определить угол
α
. В результате таких преобра-
зований уравнение (7) будет иметь вид:
22
12120
0xyaxaya
λλ
′′
′′′′
++++=
.
Теперь остается выполнить второй этап упрощения кривой, т.е. сделать
параллельный перенос координатных осей. При этом возможны следующие
ситуации:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- …
- следующая ›
- последняя »
