Составители:
Рубрика:
139
1)
1
λ
и
2
λ
отличны от нуля и имеют одинаковый знак. Выполняя парал-
лельный перенос, мы приведем далее уравнение (6) к виду:
22
120
0xya
λλ
′
′
′′ ′′
+
+=.
Очевидно, что если
0
a
′′
имеет такой же знак, что и собственные числа
1
λ
и
2
λ
, или обращается в нуль, то либо данному уравнению не отвечает ника-
кая кривая, либо соответствует точка
00(,); если
0
a
′
′
имеет противополож-
ный знак, то данная кривая – эллипс;
2)
1
λ
и
2
λ
имеют противоположные знаки. Если после параллельного пе-
реноса свободный член не обращается в нуль, то получим гиперболу, в про-
тивном случае – пару пересекающихся прямых;
3)
1
λ
или
2
λ
обращается в ноль. После параллельного переноса мы мо-
жем получить параболу.
Отметим, что не может оказаться, что оба собственных числа обраща-
ются в нуль, так как в противном случае уравнение (1) было бы линейным.
Приведенные рассуждения позволяют сделать вывод, что общее урав-
нение второго порядка вида (1) является уравнением либо эллипса (окруж-
ности), либо гиперболы, либо параболы. Заметим, что здесь содержатся и
вырожденные кривые: эллипс (окружность), сжавшийся в точку, пара пере-
секающихся прямых, мнимый эллипс, пара параллельных прямых и т.п.
Остановимся теперь кратко на идее приложения теории квадратичных
форм к приведению общего уравнения поверхности второго порядка к кано-
ническому виду.
Общее уравнение
поверхности второго порядка имеет вид:
222
11 22 33 12 13 33 1 2 3 0
222222 0.axayaz axyaxzayzaxayaza+++ + + ++++=
Суть метода совершенно аналогична изложенному. А именно: в начале
рассматривается квадратичная форма
222
11 12 13 21 22 23 31 32 33
(,,)x
y
zaxax
y
axz a
y
xa
y
a
y
zazxaz
y
azΦ =++++++++
123(,,,,)
ij ji
aaij
=
= ,
которая приводится к каноническому виду. Затем, используя матрицу пре-
образования координат, следует преобразовать линейные члены, и на вто-
ром этапе осуществить параллельный перенос координатных осей.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
222
46 0xxzyz
+
++=.
Решение. Рассмотрим квадратичную форму
(,,)x
y
zΦ=
222
46xxz
y
z=+ + +,
Запишем ее так:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- …
- следующая ›
- последняя »
