Составители:
Рубрика:
130
11
11
cos sin
sin cos
xx y
y
x
y
α
α
α
α
=−
⎫
⎬
=+
⎭
.
Здесь
cos sin
sin cos
α
α
α
α
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
T – матрица поворота.
2 Ортогональный оператор и замена базиса
Определение 1. Оператор
A
, матрица которого относительно дан-
ного ортонормированного базиса
12
e ,e ,...,e
n
евклидова пространства
n
E
ортогональна, называется ортогональным оператором.
Предположим, что в пространстве
n
E переход от ортонормированного
базиса
00 0
12
e ,e ,...,e
n
к другому ортонормированному базису
00 0
12
, ,...,
n
EE E
осуществляется с помощью преобразования координат
X
X
′
=⋅T . Так как
базис
00 0
12
, ,...,
n
EE E – ортонормированный, то
00
1
0
,
(,)
,
ij
ij
ij
=
⎧
=
⎨
≠
⎩
EE
12( , , ,..., )i
j
n
=
.
Выражая скалярные произведения
00
(,)
ij
EE
12( , , ,..., )i
j
n
=
через коорди-
наты этих векторов, получим:
22 2
11 21 1
22 2
12 22 2
22 2
12
1
1
1
...
...
,
....
...
n
n
nn nn
ττ τ
ττ τ
ττ τ
⎫
+++=
⎪
+++ =
⎪
⎬
⎪
⎪
+++=
⎭
11 12 21 22 1 2
11 13 21 23 1 3
111 212 1
0
0
0
,, ,,
...
...
.....
...
nn
nn
n n n n nn nn
ττ ττ ττ
ττ ττ τ τ
ττ ττ τ τ
−− −
+
++ =
⎫
⎪
+
++ =
⎪
⎬
⎪
⎪
+
++ =
⎭
.
Из равенств (6) следует, что
T
E
⋅
=TT
или
1T
−
=
TT
, т.е. матрица T ,
осуществляющая переход от одного ортонормированного базиса к другому,
ортогональная.
§5 Изменение матрицы линейного оператора при переходе к но-
вому базису.
Пусть в пространстве
n
E
определен линейный оператор
A
, т.е.
y
x
=
⋅A
y
1
y
(,)Mx
y
1
x
α
Рис.5.4.1
x
(6)
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- …
- следующая ›
- последняя »
