Составители:
Рубрика:
22
Определение 2. Векторы
1
a ,
2
a , …, a
n
называются линейно незави-
симыми, если линейная комбинация
11 2 2
aa...a0
nn
cc c
+
++ = лишь при ус-
ловии
12
...
n
cc c===.
Определение 2*. Векторы
1
a ,
2
a , …, a
n
называются линейно незави-
симыми, если ни один из этих векторов нельзя представить в виде ли-
нейной комбинации остальных.
Можно доказать, что определения 2 и 2
*
эквивалентны.
Заметим, что если один из векторов
1
a ,
2
a , …, a
n
является нулевым, то
совокупность векторов линейно зависима.
Пример 1. Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы. Дей-
ствительно, поместим векторы
a и b на одной прямой (рис. 2.2.1), тогда
можно найти такое
λ
, при котором ab
λ
=
=> 1 a( )b0
λ
⋅
+− ⋅ = , а это и озна-
чает, что
a и b линейно зависимы.
Пример 2. Доказать, что любые три вектора a, b и c, лежащие в плоско-
сти, линейно зависимы.
Действительно, поместим начало всех трех векторов в общую точку
(рис.2.2.2). Очевидно, тогда можно подобрать единственную пару чисел
1
λ
и
2
λ
, так что будет bac
21
λ
λ
+= , а это и означает, что векторы a, b и c ли-
нейно зависимы.
Определение 3. Ненулевые векторы
1
a ,
2
a , …, a
n
называются ком-
планарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плос-
костях.
Из сказанного выше следует, что три компланарных вектора линейно за-
висимы.
Пример 3. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Действительно, можно подобрать, причем единственным образом, такие
числа
1
λ
,
2
λ
,
3
λ
, что будет
12 3
dabc
λ
λλ
=+ +
(рис. 2.2.3).
a
b
c
d
1
a
λ
3
c
λ
Рис. 2.2.2
Рис. 2.2.1
a
b
c
a
b
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
