Составители:
Рубрика:
35
0
69
118
−
+−
±=±
i
j
k
c
удовлетворяют поставленной задаче (рис. 2.6.3).
§7 Смешанное произведение трех векторов.
1 Определение смешанного произведения
Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов
a, b,
c называется скалярное произведение вектора a и векторного произве-
дения вектора
b на вектор c , т.е. выражение a(b c)
⋅
× .
2 Необходимое и достаточное условие компланарности трех векто-
ров
Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы
a, b и c были компланар-
ны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равня-
лось нулю.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы
a, bи c компланарны. Тогда их можно
поместить в одной плоскости, и вектор
bc
×
окажется перпендикулярным
вектору
a, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.
0⋅×=a(b c) .
Достаточность. Пусть
0⋅×=a(b c) . Так как векторы ненулевые, то мо-
жет быть:
1)
bc 0×=, тогда bc
λ
= , следовательно, векторы a, b и c можно помес-
тить в одной плоскости, т.е. они компланарны;
2)
bc 0×≠, но 0⋅×=a(b c) => a(bc)
⊥
× . Это значит, что вектор a лежит
в одной плоскости с векторами b и c.
3 Геометрический смысл смешанного произведения
Предположим, что векторы
a, b и c некомпланарны. Построим парал-
лелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, по-
строенный на векторах
b и c (рис. 2.7.1).
1) Пусть
a, b, c – правая тройка. Тогда угол между векторами a и c)(b
×
острый, т.е. векторы
a и c)(b
×
лежат в одном полупространстве относи-
тельно плоскости, которая проходит через векторы b и c.
a
bc
×
h
b
c
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
