Составители:
Рубрика:
33
Свойства векторного произведения
1) коммутативность:
ab ba×=−×.
Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация
тройки.
2) ассоциативность относительно числового множителя
λ
:
(a b) ( a) b a ( b)
λ
λλ
×
=×=×.
(без доказательства)
3) дистрибутивность относительно сложения векторов:
a(bc)abac
×
+=×+×.
Следствие.
(a b) (c d) a c b c a d b d+×+=×+×+×+×.
То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не пе-
реставляя при этом местами сомножители.
2 Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненуле-
вых векторов
Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора
a и b были коллинеар-
ны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы
равно нулю.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы
a и b коллинеарны, тогда они лежат на
одной прямой, следовательно,
0sin(a,b)
∧
=
=> 0ab
×
= . Значит, ×=ab 0
Достаточность. Пусть векторное произведение
×
=ab 0. Так как 0a
≠
,
0b ≠ , то значит 0sin(a,b)
∧
= , т.е. 0(a,b)
∧
=
или (a,b)
π
∧
=
, а это означает, что
векторы
a и b коллинеарны.
Замечание. Заметим, что если два вектора
a( , , )
xy
z
aaa и b( , , )
xy
z
bbb
коллинеарны, то существует такое число
λ
, при котором ab
λ
= , т.е.
i
j
k(i
j
k)
xy z xyz
aaa bbb
λ
++ = ++
=>
=>
xx
yy
zz
ab
ab
ab
λ
λ
λ
⎫
=
⎪
=
=>
⎬
⎪
=
⎭
y
x
z
xy
z
a
aa
bbb
=
= .
Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты
пропорциональны.
3 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
Заметим, что
ii
jj
kk 0×=×=× = . Далее очевидно, что i
j
k×= ,
j
ki
×
= ,
ki
j
×=,
j
ik×=−, k
j
i×=−, i
jj
×
=− .
Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы
aijk
x
y
z
aaa=++
и
bijk
x
y
z
bbb
=
++
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
