Составители:
Рубрика:
36
Очевидно, что
hпр ==×⋅
×
ac))(b
,
^
cos(aa
cb
дает нам высоту параллеле-
пипеда, следовательно,
a(b c)⋅× есть не что иное, как объем параллелепи-
педа, построенного на векторах
a,b, с.
2) Если
a, b, c – левая тройка, то векторы a и c)(b
×
будут лежать в
разных полупространствах, а тогда
h−=×⋅ c))(b
,
^
cos(aa
, следовательно,
a(b c)⋅× будет равно объему параллелепипеда, взятому со знаком минус.
Итак, объем параллелепипеда
a(b c)v
=
±⋅ × или a(b c)v
=
⋅×.
Вывод. Абсолютная величина смешанного произведения трех ненуле-
вых векторов дает нам объем параллелепипеда, построенного на этих век-
торах.
Свойства смешанного произведения
1)
a(b c) b(c a) c(a b)⋅×=⋅×=⋅×.
То есть смешанное произведение не меняется при циклической переста-
новке перемножаемых векторов.
Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу
геометрического смысла смешанного произведения. Знаки их также сов-
падают, так как ориентация тройки не меняется при циклической переста-
новке векторов.
2)
a(b c) a(c b)⋅×=−⋅×.
Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль сме-
шанного произведения не меняется, а знак меняется на противополож-
ный, так как тройка меняет свою ориентацию.
3)
a (b c) c (a b) (a b) c⋅×=⋅×=×⋅.
Действительно, в силу первого свойства:
a(b c) c(a b)
⋅
×=⋅×. С другой
стороны,
c(ab)(ab)c⋅× =×⋅, откуда и следует окончательно:
⋅×=× ⋅a(b c) (a b)c. Поэтому иногда смешанное произведение обозначают
(a, b, c).
4) Если
a(,,)
x
y
z
aaa=
,
b(,,)
x
y
z
bbb=
,
c(,,)
x
y
z
ccc
=
, то
Рис. 2.7.1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
