Составители:
Рубрика:
38
§8 Двойное векторное произведение.
Определение. Двойным векторным произведением трех ненулевых
векторов
a, b и c называется вектор a(bc)
×
× ; если хотя бы один из
векторов
a, b или c равен нулю, то a(bc) 0
de
f
×
×=.
Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет со-
бою векторную величину. Заметим, что объекты типа
a(bc)
×
× часто встре-
чаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисления
двойного векторного произведения.
Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.
ai
j
k
xy
z
aaa=++ , bi
j
k
xy
z
bbb
=
++ , ci
j
k
xy
z
ccc
=
++ .
Вычислим
a(bc)××.
Обозначим
vbc=×, ua(bc)av=× × =×.
Найдем вектор
v. Известно, что вектор vbc
=
× выражается через коор-
динаты векторов
b и c так:
ijk
v()i()
j
()k
xyz yzzy zxxz xyyx
xyz
bbb bcbc bcbc bcbc
ccc
==−+−+−,
то есть
xy
zz
y
vbcbc=−,
y
zx xz
vbcbc
=
− ,
z
x
yy
x
vbcbc
=
− .
В свою очередь, аналогично
uav( )i( )
j
()k
yz zy zx xz xy yx
av av av av av av=×= − + − + − .
Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для
x
v ,
y
v и
z
v и, кроме того, выполним искусственное преобразование, доба-
вив и отняв к правой части выражения
i
x
xx
abc
,
j
yyy
abc ,
k
z
zz
abc
. Получим:
ua(bc)[ ]i[
]j [ ]k i i j
jkk( )i i( )j
j
yxy yyx zzx zxz zyz zzy xxy
xyx xzx xxz yyz yzy xxx xxx yy y
yyy zzz zzz x yy zz xxx y zz xx
yyy
abc abc abc abc abc abc abc
abc abc abc abc abc abc abc abc
abc abc abc b ac ac abc b ac ac
abc b
=× × = − − + + − −
++−−+ +−+−
−+ − = ++ + ++
++()kk[()ii(
)j j ( )k k] ( i j k)(
)(i j k)( )b(ac)c(ab)
zxx yy zzz xyy zz xxx yzz
xx yyy z xx yy zzz x y z xx yy
zz x y z xx yy zz
ac ac abc c ab ab abc c ab
ab abc c ab ab abc b b b ac ac
ac c c c ab ab ab
++ − +++ +
++ + + + =++ ++
+−++⋅ ++ =⋅−⋅
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
