Составители:
Рубрика:
39
Итак, получили: a(bc)b(ac)c(ab)××= ⋅− ⋅.
Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произве-
дениям
ac⋅ и ab
⋅
; они являются коэффициентами линейной комбинации
векторов
b и c , через которые выражается двойное векторное произведе-
ние
a(bc)××. Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение
представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и векто-
ры
b и c , т.е. векторы a(bc)××, b и c компланарны.
Остановимся теперь на вычислении выражения
(a b) c
×
× , которое, во-
обще говоря, также является двойным векторным произведением. Действи-
тельно:
(a b) c c (a b) [a(c b) b(c a)] b(a c) a(b c),××=−××=− ⋅− ⋅ = ⋅− ⋅
т.е.
(a b) c×× представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с
векторами
a и b. Очевидно также, что a(bc) (ab)c
×
×≠××.
Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанали-
зировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произ-
ведения.
Пример 1. Показать, что точки
121(, ,)A , 333(,,)B , 412(,,)C и 545(,,)
D
лежат в одной плоскости.
Решение. Найдем координаты векторов
u
uuur
AB ,
u
uuur
AC и
u
uuur
AD .
212(,,)
uuuur
AB , 311−(, ,)
u
uuur
AC , 424(,,)
u
uuur
AD .
Если точки
A , B ,
C и
D
лежат в одной плоскости, то и векторы лежат
в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векто-
ров равно нулю.
Действительно,
(
AB , A
C
, AD ) =
212
311
424
− = 0,
т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.
Пример 2. Доказать, что векторы
2ai
j
k
=
++ , 34bi
j
k=++ и
23ci
j
k=+ − линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.
Решение.
A
B
C
D
Рис. 2.8.1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
