Сборник описаний задач специального лабораторного практикума "Компьютерный эксперимент" темы 3, 4, 5. Будко В.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим динамику измененния чисенности популяции (на единице площади) в процессе
рождения и гибели индивидов популяции при взаимодействии с окружающей средой.
Обозначим численность (или плотность ) популяции в момент t : x(t). Относительный прирост
Мальтус предложил простую гипотезу о пропорциональности относительного прироста величине
популяции :
час,минута , и т.п./получим дискретную модель популяции по Мальтусу : x i+1=(k+1)x i.
Ферхлюст и Пирл предложили уточнить модель : определять коэф . прироста как разницу
коэф . рождаемости p>=0 и смертности c<=1 :k=p-c и считать, что коэф . смертности линейно зависит
от величины популяции :
x xпор x
Функция c(x) для этой модели показана на рисунке .
Представляет интерес модель, в которой коэф . смертности начинает увеличиваться лишь после
того как плотность популяции станет больше некоторого порога .
Программа моделирования : это может быть, например :
--- поиск стационарного состояния популяции ,
--- поиск момента , когда популяция вырождается, вымирает,
--- определение значений “a” и ”b” при которых наступают периодические колебания численности
популяции,
--- и другие задачи , см.[11].
5.2.Модель хищник-жертва.
Имеются популяции двух видов, один из которых питается другим. Поведение этой системы
описывается соотношениями :
где : xi –численность (плотность) жертв ,
yi – хищников,
a
1,
b
1
(
a
2,
b
2
)
коэф . рождаемости и смертности жертв (хищников),
t
txttx
x
t
времени
отрезок
за
x
∆
−∆+
=
∆
)()(
ˆ
)(
:
)
(
δ
δ
)(
)()(
.
.
0
)
(
)
(
txk
t
txttx
прироста
коэф
k
t
x
k
x
⋅=
∆
−∆+
−
≥
⋅
=
δ
,/1 суткиtеденицеусловнойравнымвременициидискретизаtотрезокПолагая
=
∆
∆
xbc
⋅
+
=
α
2
1
2
1
)1(
,)()()(;
ˆ
,
ˆ
;
iii
iiii
bxxax
bxaxxxxbatxttxьноСледовател
p
a
x
b
a
x
b
p
k
Тогда
−⋅+=
−+=⋅−=−∆+
−
=
⋅
−
=
⋅
−
−
=
+
+
α
α
с
с
α
α
>−+
<
=
⋅ порпор
пор
xxbxx
xx
c
,(
,
)α
α
iiiiii
iiiiii
yxqybyayy
cycxyxqxbxaxx
2
2
221
2010,1
2
111 ,
−++=
==−+=
+
−+
 Р ассмо тр и м д и нами куи зме не нни я чи се нно сти по пу     ляци и (на е д и ни це пло щ ад и ) в пр о це ссе
р о ж д е ни я и ги б е ли и нд и ви д о в по пу
                                               ляци и пр и взаи мо д е йстви и с о кр у
                                                                                      ж ающ е й ср е д о й.
 О б о значи м чи сле нно сть (и ли пло тно сть) по пу     ляци и в мо ме нт t : x(t). О тно си те льный пр и р о ст
    δ ( x) за от р е зок вр е м е ни ∆t буд е т :
              x(t + ∆t ) − x(t )
    δ ( x) =ˆ
                     ∆t
 М альтус пр е д ло ж и л пр о сту
                                 ю ги по те зуо пр о по р ци о нально сти о тно си те льно го пр и р о ста ве ли чи не
по пуляци и :
    δ ( x) = k ⋅ x(t )           k ≥ 0 − коэф . пр ир ост а.
    x(t + ∆t ) − x(t )
                       = k ⋅ x(t )
            ∆t

    П ол агая от р е зок ∆t д искр е т изации вр е м е ни р авны м усл овной е д е нице ∆t = 1 / сут ки ,

час,ми ну   та, и т.п./по лучи м д и скр е тную мо д е ль по пу  ляци и по М альту    су: x i+1=(k+1)x i.
 Фе р х люст и П и р л пр е д ло ж и ли уто чни ть мо д е ль : о пр е д е лять ко эф .пр и р о ста как р азни цу
ко эф .р о ж д ае мо сти p>=0 и сме р тно сти c<=1 :k=p-c и счи тать, что ко эф .сме р тно сти ли не йно зави си т
о т ве ли чи ны по пу  ляци и :
    c =α +b⋅x
    Тогд а ; k = p − α − b ⋅ x =ˆa − b ⋅ x , a =ˆp − α
    С л е д оват е л ьно; x(t + ∆t ) − x(t ) = (a − b) ⋅ x , xi + 1 = xi + axi − bxi 2
    xi + 1 = (a + 1) ⋅ xi − bxi 2
                                                 с
    с

                                           α
        α
                             x                  xпо р                  x

      α , x < xпор
    c=
      α + ( x − xпор ) ⋅ b, x > xпор
Фу  нкци я c(x) д ля это й мо д е ли по казана на р и су      нке .
 П р е д ставляе т и нте р е с мо д е ль, в ко то р о й ко эф .сме р тно сти начи нае т у  ве ли чи ваться ли ш ь по сле
то го как пло тно сть по пу    ляци и стане т б о льш е не ко то р о го по р о га.
П р о гр амма мо д е ли р о вани я : это мо ж е т б ыть, напр и ме р :
--- по и ск стаци о нар но го со сто яни я по пу    ляци и ,
--- по и ск мо ме нта, ко гд а по пу  ляци я выр о ж д ае тся, выми р ае т,
--- о пр е д е ле ни е значе ни й “a” и ”b” пр и ко то р ых насту   пают пе р и о д и че ски е ко ле б ани я чи сле нно сти
по пу  ляци и ,
--- и д р у ги е зад ачи , см.[11].


        5.2.М о д е ль х и щ ни к-ж е р тва.
И ме ются по пу  ляци и д ву  х ви д о в, о д и н и з ко то р ых пи тае тся д р у
                                                                                ги м. П о ве д е ни е это й си сте мы
о пи сывае тся со о тно ш е ни ями :
    xi + 1 = xi + a1xi − b1xi 2 − q1xiyi , x 0 = c1, y 0 = c 2
     yi + 1 = yi + a 2 yi + b 2 yi 2 − q 2 xiyi
гд е : xi –чи сле нно сть (пло тно сть) ж е р тв,
       yi – х и щ ни ко в,
       a1, b1 (a2,b2) ко эф .р о ж д ае мо сти и сме р тно сти ж е р тв (х и щ ни ко в),

Страницы