Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 44 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Пусть (x(t), u(t), p(t)) — характеристика. Вектор (x
0
(t), u
0
(t), p
0
(t)) косоортогонален (как
характеристический) векторам, лежащим в касательной плоскости графика решения. Ес-
ли при этом он не лежит в самой этой плоскости, то линейная оболочка, натянутая на
характеристический вектор и касательную плоскость, будет (n + 1)-мерным изотропным
пространством, противоречие.
В качестве примера рассмотрим уравнение эйконала
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
= 1 .
Тогда F (x, y, u, p, q) = p
2
+ q
2
. Уравнения на характеристики запишутся в виде
x
0
= 2p , y
0
= 2q , u
0
= 2p
2
+ 2q
2
, p
0
= 0 , q
0
= 0 .
При этом p
2
+ q
2
= 1. Находим характеристики
x = 2pt + x
0
, y = 2qt + y
0
, u = 2t + u
0
, p = const , q = const , p
2
+ q
2
= 1 .
Заметим, что u(x
0
, y
0
) = u
0
. Пусть f(x, y) = c onst — некоторая гладкая кривая в плос-
кости x, y. Зададим на этой кривой значение функции u полагая u = u
0
. Фиксировав
точку (x
0
, y
0
) на начальной кривой получим в качестве характеристики прямую в R
5
.
Проекция характеристики на плоскость x, y также является прямой. Направляющий век-
тор этой прямой равен 2(p, q), т.е. пропорционален ∇u = (p, q). Так как начальная кривая
является линией уровня функции u, то вектор ∇u = (p, q) перпендикулярен начальной
кривой. Если (x, y) — точка на проекции характеристики, то
u =
p
(x − x
0
)
2
+ (y −y
0
)
2
+ u
0
,
т.е. построенное решение u имеет смысл расстояния от точки (x, y) до начальной кривой
плюс константа.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Гамильтона–Якоби
∂S
∂t
+ H
t, x,
∂S
∂x
= 0 ,
