Геометрические вопросы теории дифференциальных уравнений. Будылин А.М. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 42 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
По традиции характеристический вектор берут противоположного направления. Таким
образом, характеристическое поле a в R
2n+1
определяется равенством
a =
∂F
∂p
, p
∂F
∂p
, −
∂F
∂x
− p
∂F
∂u
(здесь средняя компонента вектора найдена из уравнения контактной плоскости) и урав-
нения на характеристики имеют вид
dx
dt
=
∂F
∂p
,
du
dt
= p
∂F
∂p
,
dp
dt
= −
∂F
∂x
− p
∂F
∂u
(3.19)
или в развернутом виде
dx
i
dt
=
∂F
∂p
i
,
du
dt
=
n
X
j=1
p
j
∂F
∂p
j
,
dp
i
dt
= −
∂F
∂x
i
− p
i
∂F
∂u
, i = 1, . . . n .
Определение 3.14. 1-струей или 1-джетом функции u в точке x называется вектор
(x, u, ∇u).
Уравнение в частных производных 1-го порядка есть не что иное, как неявное задание
графиков 1-струй (так называемый 1-график) решений этого уравнения. К графику 1-
струй функции u можно относится как к графику вектор–функции (u, ∇u). Заметим, что
это n-мерная поверхность в (2n + 1)-мерном пространстве.
Теорема 3.15. График 1-струй решения уравнения в частных производных (3.16) вы-
стилается характеристиками.
Доказательство. Пусть u = U(x) — решение уравнения в частных производных. Тогда
∂F
∂x
+
∂F
∂u
∇U +
n
X
i=1
∂F
∂p
i
∂∇U
∂x
i
=
∂F
∂x
+
∂F
∂u
∂U
∂x
+
n
X
i=1
∂F
∂p
i
∂
∂x
∂U
∂x
i
=
∂F (x, U, ∇U)
∂x
= 0 .

Страницы