Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 43 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Рассмотрим решение x(t) дифференциального уравнения
dx
dt
=
∂F (x, U(x), ∇U(x))
∂p
.
Тогда в силу
d∇U
dt
=
n
X
i=1
∂∇U
∂x
i
dx
i
dt
=
n
X
i=1
∂F
∂p
i
∂∇U
∂x
i
заключаем, что функция p(t) = ∇U(x(t)) является решением уравнения
dp
dt
= −
∂F
∂x
− p
∂F
∂u
,
т.е. вектор
dx(t)
dt
,
dU(x(t))
dt
,
d
dt
∇U(x(t))
является характеристическим.
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в следующем. Подпространство
симплектического пространства называется изотропным, если любые два вектора этого
подпространства косоортогональны между собой. Примером изотропного пространства
является касательная плоскость к графику решения
du = p dx , p = ∇U .
Это вытекает из леммы Пуанкаре (равенство смешанных производных)
X
d
∂U
∂x
i
∧ dx
i
=
X
∂
2
U
∂x
i
∂x
j
dx
j
∧ dx
i
= 0 .
Изотропное пространство не может быть размерности большей, чем n (половина размер-
ности симплектического пространства), поскольку оно содержится в своем косоортого-
нальном дополнении: если m — размерность изотропного пространства, то 2n − m > m.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
