Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 41 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Это однородная система линейных уравнений на 2n неизвестных y
1
, . . . y
2n
. Ранг систе-
мы равен 2n − 1 (число уравнений) в силу невырожденности симплектической формы.
Как известно из курса линейной алгебры, система имеет однопараметрическое семейство
решений, т.е. косоортогональное дополнение к гиперплоскости существует и является
прямой. Тот факт, что направляющий вектор этой прямой лежит в косоортогональной
гиперплоскости тривиален: иначе векторы ξ
1
, . . . ξ
2n−1
, η образовывали бы базис в сим-
плектическом пространстве, причем ω(η, ξ) = 0 для любого ξ (в силу ω(η, η) = 0), что
противоречит невырожденности формы ω.
Определение 3.13. Направление, косоортогональное к плоскости (3.17)-(3.18) в контакт-
ной плоскости (3.18) называется характеристическим для нелинейного уравнения в
частных производных. Фазовые кривые характеристического векторного поля называют-
ся характеристиками для нелинейного уравнения в частных производных.
Найдем уравнения на характеристики. Заметим, что если ξ = (X, P ) и η = (Y, Q) —
два вектора (здесь X, Y, P, Q — n-мерные составляющие векторов) в симплектическом
пространстве со стандартной симплектической формой ω = −
P
dp
i
∧ dx
i
, то
ω(ξ, η) = −
X
(P
i
Y
i
− Q
i
X
i
) = −P Y + QX .
Заметим, далее, что уравнение плоскости (3.17)-(3.18) в координатах dx, dp имеет вид:
∂F
∂x
+ p
∂F
∂u
dx +
∂F
∂p
dp = 0 .
Точнее, если ξ = (X, P ) — произвольный вектор, лежащий в этой плоскости, то (ввиду
dx(ξ) = X, dp(ξ) = P )
∂F
∂x
+ p
∂F
∂u
X +
∂F
∂p
P = 0 .
Сравнив полученные уравнения, нетрудно выписать искомый косоортогональный вектор.
В координатах контактной плоскости он задается равенствами
η = (Y, Q) , Y = −
∂F
∂p
, Q =
∂F
∂x
+ p
∂F
∂u
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
