Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 39 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.4. Нелинейные уравнения первого порядка
Для нелинейного уравнения в частных производных сохраняет силу метод характеристик,
но в то время как характеристики линейного уравнения были траекториями в n-мерном
пространстве, а характеристики квазилинейного уравнения — в (n + 1)-мерном, харак-
теристики нелинейного уравнения лежат в 2n + 1 мерном пространстве (имеется ввиду
случай x ∈ R
n
).
Итак, рассмотрим уравнение
F (x, u, ∇u) = 0 , (3.16)
где F — гладкая функция. Прежде всего заметим, что решение этого уравнения сводится
к решению системы
n
X
i=1
∂F
∂x
i
dx
i
+
∂F
∂u
du +
n
X
i=1
∂F
∂p
i
dp
i
= 0 ,
du −
n
X
i=1
p
i
dx
i
= 0 ,
или в сокращенной записи
∂F
∂x
dx +
∂F
∂u
du +
∂F
∂p
dp = 0 , (3.17)
du −p dx = 0 . (3.18)
Уравнение (3.17) определяет касательную гиперплоскость к гиперповерхности в R
2n+1
:
F (x, u, p) = 0 , (x, u, p ∈ R
n
× R × R
n
) .
Уравнение (3.18) задает так называемую контактную гиперплоскость. Как уже было
замечено выше, поле контактных гиперплоскостей неинтегрируемо, т.е. система (3.17)-
(3.18) определяет поле плоскостей размерности 2n − 1. Рассмотрим какую–либо из
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
