Геометрические вопросы теории дифференциальных уравнений. Будылин А.М. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 38 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что также ведет к решению рассматриваемой задачи Коши.
Это уравнение описывает, например, пылевое облако, частицы которого движутся па-
раллельно оси x со скоростью u. Найдем условия опрокидывания пылевой волны, т.е.
когда и где производная по x от скорости обращается в бесконечность (это момент, когда
быстрые частицы догоняют медленные и фронт волны рушится — происходит формиро-
вание ударной волны, см. рис. 6).
По правилу дифференцирования неявной функции получаем
u
x
= f
0
(x −ut) · (1 − tu
x
) ⇒ u
x
=
1
t +
1
f
0
,
т.е. формирование ударной волны будет происходить при условии tf
0
(x−ut) = −1. Пусть,
для определенности, f(x) =
π
2
− arctg x. Условие опрокидывания примет вид: t = 1 +
(x − ut)
2
. Мы видим, что опрокидывание наступает при t ↑ 1 в точке x = u, т.е. при
x = f (0) =
π
2
.
x
u
Рис. 6: Формирование ударной волны

Страницы