Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 36 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
нехарактеристчности точки (x
0
, u
0
) начального многообразия G и условия невертикаль-
ности характеристического поля a = (v, b) в этой точке (т.е. v 6= 0).
Теорема 3.11. Решение задачи Коши с нехарактеристическим начальным условием в
точке x
0
∈ Γ существует в некоторой окрестности этой точки и единственно.
Доказательство. В силу нехарактеристичности начального условия в окрестности точ-
ки (x
0
, u
0
) характеристическое поле a невертикально. Поэтому характеристики поля,
выходящие из начального многообразия G, будут выстилать некоторую поверхность, яв-
ляющуюся графиком функции. Последняя и есть искомое решение. Существование и
единственность вытекают из теоремы существования и единственности для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений (уравнений для характеристик), см. рис. 5.
Вернемся к уравнению Эйлера-Хопфа и рассмотрим для него задачу Коши
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0 , u|
t=0
= f(x) .
Уравнения на характеристики имеют вид
dt
dτ
= 1 ,
dx
dτ
= u ,
du
dτ
= 0
Это линейная система дифференциальных уравнений эквивалентная уравнению Ньютона
d
2
x
dt
2
= 0 .
Xарактеристиками служат прямые
t = τ + t
0
, x = u
0
τ + x
0
, u = u
0
Начальная гиперповерхность Γ является плоскостью t = 0. Считая, что характеристики
начинаются при нулевом значении параметра τ, найдем t
0
= 0. Из начальных условий
находим тогда
u
0
= f(x
0
) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
