Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 35 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 3.8. Векторное поле a = (v, b) называется характеристическим для ква-
зилинейного уравнения (3.13). Его фазовые кривые называются характеристиками урав-
нения квазилинейного уравнения.
Таким образом, уравнения на характеристики в случае квазилинейных уравнений
имеют вид
x
0
= v(x, u) , u
0
= b(x, u) , (3.15)
штрих означает дифференцирование по независимой переменной t. Уравнения на харак-
теристики часто записывают в симметричном виде:
dx
1
v
1
= . . . =
dx
n
v
n
=
du
b
.
Теорема 3.9. Функция u является решением квазилинейного уравнения тогда и толь-
ко тогда, когда ее график состоит из характеристик.
Доказательство. Если характеристика пересекает график решения, то в силу условия
касания графика решения с характеристическим полем она вся лежит на этом графике.
Задача Коши в квазилинейном случае ставится также, как в линейном.
Определение 3.10. Начальным многообразием G для задачи Коши в квазилинейном
случае называется график функции f : Γ → R, см. (3.10). Начальное условие (Γ, f )
называется нехарактеристическим в точке x
0
∈ Γ, если вектор v = v(x
0
, u
0
), где
u
0
= f(x
0
), трансверсален поверхности Γ.
Заметим, что в отличии от линейного уравнения характеристический вектор зависит
от u и, следовательно, нельзя ввести понятия нехарактеристической точки поверхно-
сти Γ. Следует говорить лишь о нехарактеристических точках начального многообразия
G.
5
Заметим, что нехарактеристичность начального условия складывается из двух вещей:
5
если начальное условие f нехарактеристично в точке x
0
, то точка (x
0
, u
0
) ∈ G является нехарактеристи-
ческой, т.е. характеристическое поле a трансверсально G в этой точке
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
